§ 14.4. Жазық фигураның айналмалы қозғалысы туралы Эйлер-Шааль теоремасы.

Теорема. Жазық фигураның шекті уақыт аралығында өз жазықтығындағы орын ауыстыруын бір нүктенің айналасында белгілі бір бұрышқа бұру арқылы беруге болады. Өз жазықтығында қозғалып бара жатқан жазық фигурада орналасқан АВ түзуі ∆t уақыт аралығында А1В1 орнына орын ауыстырады делік (14.4-сурет). А және А1, В және В1 нүктелерін өзара қосып, АА1, ВВ1 кесінділерінің тура ортасындағы С1 және С2 нүктелерінен осы кесінділерге жүргізілген перпендикулярды С нүктесінде қиылысқанша жалғастырамыз. ОСы С нүктесі іздеп отырған нүтеміз, яғни фигураның шекті айналу центрі болады. С нүктесі А, В, А1, В1, нүктелерімен қосқанда, АВС және А1В1С үшбұрыштары пайда болады. СА=СА1, СВ=СВ1, және АВ=А1В1 қабырғалары теңдігінен осы үшбұрыштар өзара тең болады.

Осы үшбұрыштар теңдігінен

<АСВ = <А1СВ1

Теңдікті екі жағына ВСА1 бұрышын қоссақ:

<АСВ + <ВСА1 = <А1СВ1 + <ВСА1

Немесе φА = φВ

Яғни фигураны бірінші орнынан СА және СА1 кесінділері дәл беттесетіндей етіп, С нүктесінің төңірегінде φА бұрышына бұрсақ, СВ және СВ1, АВ және А1В1 кесінділері де дәл беттеседі, демек фигура өзінің суретте көорсетілген екінші орнына келеді.

Сонымен, фигураны бірінші орнынан екінші орынға орын ауыстыру үшін оны қозғалмайтын деп алынған жазықтықтағы айналу центрі ( С нүктесі ) төңірегінде φ бұрышына бұру қажет екені дәлелденді.

§14.5. Жазық фигураның лездік айналу центрі. Центроидалар

Жазық фигураның қозғалысы үздіксіз болғандықтан, оны фигураның шексіз аз орын ауыстыруларының тізбегі деп қарастыруға болады. Эйлер-Шааль теоремасы бойынша мұндай орын ауыстырулардың әрқайсысы белгілі бір центр айналасында фигураның шексіз аз орын ауыстыруында айналу центрі деп алуға болатын мұндай центрлер лездік айналу цетрі деп аталады. Әртүрлі уақыт кезеңдерінделездік айналу цетрлерінің орны әр басқа болады. Лездік айналу центрі қозғалмайтын жазықтықта, жазық фигураның өзінде немесе фигураға бекітілген жазықтықта да жатуы мүмкін. Жазық фигурада немесе осы фигураға бекітілген қозғалмалы жазықтықта жататын лездік айналу центрі лездік жылдамдықтар центрі деп аталады. Бұл центрдің берілген уақыт кезеңіндегі жылдамдығы нөлге тең, яғни фигура центр төңірегінде дәл осы сәтте айналмалы қозғалыста болады. Лездік айналу центрлерінің қозғалмайтын жазықтықтағы геометриялық орны қозғалмайтын центроида, ал фигура жазықтығындағы лездік жылдамдықтар центрлерінің геометриялық орны болатын үзіліссіз қисық қозғалмалы центроида деп аталады. Кез келген уақыт кезеңінде қозғалмайтын және қозғалмалы центроидалар дененің лездік айналу центрі болатын (14.5,а-сурет) ортақ С нүктесінде жанасады. Расында да, белгілі бір уақыттан соң (14.5,б-сурет), қозғалмайтын жазықтықта жататын лездік айналу центрі (Іх) қозғалмалы жазықтықта жататын лездік жылдамдықтар центрімен (І) біріне-бірі дәл келіп жанасады.

Келесі кезеңде (Іх) нүктесі қозғалмайтын жазықтықта қалады да, ал (І) нүктесі (Іх) нүктеге қарағанда жылжып орын ауыстырады. Онан әрі фигура мен қозғалмайтын жазықтықта жататын (ІІ) және (2х), (ІІІ) және (3х), (IV) және (4х) және т.б. нүктелердің орын ауыстырулары осындай ретпен жалғаса береді. Сонымен, лездік айналу центрлері үзіліссіз қисықтар (центроидалар) бойында орналасады және екі центроида бір-бірімен әр уақыт кезеңіне сәйкес лездік айналу центрлерінде жанасады.

Демек, қозғалыс кезінде қозғалмалы центроида қозғалмайтыын центроида бетімен сырғанамай домалайды. Мысалы, рельс бетімен сырғанамай, домалап келе жатқан дөңгелектің кез келген уақыт кезеңіндегі лездік айналу центрі дөңгелектің рельспен жанасу нүктесінде орналасады. Сондықтан дөңгелек шеңбері қозғалмалы, ал рельс бойымен бағытталған түзу қозғалмайтын центроида болады.

85