§ 13.3. Жылдамдықтарды қосу туралы теорема

М нүктесінің негізгі Охуг санақ жүйесіне қарағандағы күрделі қозғалысын зерттейік (13.1-сурет). Бұл нүкте қозғалмалы O'х'у'і' санак, жүйесіне қарағанда салыстырмалы қозғалыста болсын. Ал O'х'у'z' санак жүйесінің М нүктесімен бірге қозғалмайтын Охуг санақ жүйесін қозғалысы тасымал қозғалыс деп келісілген болатын. М нүктесінің қозғалмалы O'х'y’z’ санақ жүйесіндегі орны р радиус-векторымен, ал негізгі Охуг санақ жүйесіндегі орны r_м радиус-векторымен анықгалады. Нүктенің күрделі қозғалысында r_м және р радиус-векторлары уақытқа тәуелді функциялар болады.

Тасымал қозғалыста қозғалмалы санақ жүйесінің бас нүктесі орнын анықтайтын r_o - радиус-векторы және қозғалмалы координаттар

жүйесінің бірлік орттарының бағыттары да уақытқа тәуелді өзгеріп отырады.

M нүктесінің абсолютті қозғалыстағы r_м радиус-векторы

(13.1)

Осы векторлық қосынды нүктенің күрделі қозғалысының векторлық теңдеуі болады. р радиус-векторын қозғалмалы координат өстеріндегі проекциялары х'у'г' жэне осы өстердің бағыттарының өзгеруін сипаттай- тын i, j, k бірлік векторлары (орттар) арқылы өрнектейтін болсақ, онда

(13.2)

Нүктенің берілген уақыт кезіндегі жылдамдығын (11.3) теңдеуін пайдалана отырып табамыз, яғни

Осы жагдайларды ескере отырып, нүктенің тасымал қозғалыстағы жылдамдығын мынадай түрде жазамыз:

13.4. Үдеулерді қосу туралы теорема (Кориолис теоремасы).

Күрделі қозғалыстағы нүктенің абсолют үдеуі деп оның абсолют жылдамдығынан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға немесе нүктенің абсолют қозғалыстағы радиус-векторынан уақыт бойынша алынған екінші туындыға тең болатын векторды айтамыз.

Теореманы дәлелдеу үшін, (13.3) теңдеуінен тағы бір рет туынды анықтаймыз:

Немесе

(13.10)

Осы теңдіктің оң жақтағы қосылғыштарын үш топқа бөліп қарастырамыз:

1. радиус-векторы қозғалмайтын Oxyz санақ жүйесіне қатысты қозғалыста болатын қозғалмалы Ox’y’z’ санақ жүйесінің бас нүктесінің орнын анықтайтындықтан, өрнегі нүктенің тасымал қозғалысының үдеуін сипаттайды. өрнегінде x’,y’,z’ (нүктенің салыстырмалы қозғалысының координаттары)шамалары тұрақты болғандықтан, М нүктесінің қозғалмалы санақ жүйесіне қатысты орны өзгермейді, яғни салыстырмалы қозғалыс болмайды. Бірақ қозғалыс қозғалмайтын санақ жүйесіне қарағанда болғандықтан, өрнегі де нүктесінің тасымал қозғалысының үдеуін сипаттайды.

Осы жағдайларды ескере отырып, нүктенің тасымал қозғалыстағы үдеуін мынадай түрде жазамыз:

. (13.11)

2. өрнегі бойынша М нүктесі қозғалмалы санақ жүйесіне қарағанда қозғалады және координат өстерінің бағыты өзгермейді, яғни тасымал қозғалыс болмайды. (11.16) теңдеуі бойынша бұл өрнек нүктенің салыстырмалы қозғалысының а_r үдеуі болып табылады.

а_r = (13.12)

3. (13.10) өрнегінің жақшаға алынған қосындысын түрлендірейік. (12.25) формуласының негізінде i’,j’,k’ орттарынан уақыт бойынша алынған туындыларды векторлық көбейтінділер ретінде қарастырайық :

Мұнда - қозғалмалы санақ жүйесінің, O’ бас нүктесі арқылы өтетін өстен айналмалы қозғалысының бұрыштық жылдамдық векторы. Жалпы жағдайда векторының шамасы да, бағыты да өзгеріп отырады.

Сондықтан жақша ішіндегі қосындыны мынадай түрде жазамыз:

Олай болса, М нүктесінің абсолютті үдеуі:

(13.13)

Осы формуладағы ( ) векторлық көбейтінді өлшем бірлігін анықтайық.

Осы үдеуді кезінде француз ғалымы Г.Кориолис бұрылу үдеуі деген атпен дәлелдеген болатын. Ғалымның құрметіне оның шәкірттері бұл үдеуді кориолистік үдеу деп атауға ұйғарды, яғни

(13.14)

Кориолистік үдеу векторы тасымал бұрыштық жылдамдық пен салыстырмалы жылдамдықтың екі еселенген векторлық көбейтіндісіне тең.

Сонымен, нүктенің абсолют үдеуі :

(13.15)

Осы формула үдеулерді қосу туралы теореманы сипаттайды. Бұл жағдайда нүктенің тасымал қозғалысы кез келген түрде берілетін қозғалыс болып табылады.

Сонымен, күрделі қозғалыстағы нүктенің абсолютті үдеуі тасымал, салыстырмалы және кориолистік үдеулердің векторлық (геометриялық) қосындысына тең. Бұл теорема Кориолис теоремасы деп аталады.

Егер қозғалмалы O’x’y’z’ санақ жүйесі қозғалмайтын Oxyz санақ жүйесіне қарағанда ілгерімелі қозғалатын болса ( ), онда

(13.16)

яғни нүктенің абсолютті үдеуі оның тасымал және салыстырмалы үдеулерінің векторлық (геометриялық) қосындысына тең.

Кориолистік үдеудің шамасы мен бағыты. Кориолистік үдеудің модулі мен бағыты екі вектордың векторлық көбейтіндісі ережесімен анықталады. Үдеудің модулі

(13.17)

Кориолистік үдеу векторы және векторының жазықтығына М нүктесінде түсірілген перпиндикулярмен оң винт ережесіне сәйкес бағытталады. Демек, векторының оң ұшынан қарағанда векторының векторымен беттесуі үшін ең аз бұрышқа бұрылуы сағат тілінің айналасына кері бағытта болуы керек (13.3-сурет). Кориолистік үдеудің бағытын басқа әдіспен де көрсетуге болады. Бұл әдіс бойынша (Н.Е. Жуковский әдісі) векторының бағытын анықтау үшін, алдымен М нүктесі арқылы векторына перпендикуляр етіп Н жазықтығын жүргізейік (13.4-сурет). векторының осы жазықтықтағы проекциясын Н жазықтығында тасымал айналыс бағытында 90 -қа бұрсақ, онда векторының бағытын аламыз.

Кориолистік үдеудің физикалық мақсаты. (13.17) формуласынан кориолистік үдеудің шамасы үш жағдайда нөлге тең болатынын байқаймыз.

1. - тасымал қозғалыс ілгермелі болғанда;

2. - салыстырмалы қозғалыс жоқ болғанда;

3. – нүктенің салыстырмалы қозғалысының жылдамдық векторы қарастырылып отырған жағдайда айналу өсіне параллель болады.

Осы аталған үш жағдайдың барлығында, тасымал және салыстырмалы қозғалыстардың бір-біріне әсері болған жағдайда нүктенің тасымал және салыстырмалы үдеулермен қатар, міндетті түрде қосымша жаңа үдеу пайда болады. Бұны мынадай мысалдан көруге болады.

М тасы О нүктесі арқылы өтетін өстен тұрақты бұрыштық жылдамдығымен айналып тұрған ОА сырығының бойымен бірқалыпты сырғи бастайды (13.5-сурет) делік. Тастың сырықпен бірге айналмалы қозғалысы тасымалды, ал сырықтың бойымен сырғымалы қозғалысы салыстырмалы қозғалыс болып табылады. Есептің шарты бойынша тас сырықтың бойымен тұрақты салыстырмалы жылдамдығымен қозғалады. Сырық бұрышына бұрылғанда, М тасының О центрінен қашықтығы ОМ₁ шамасынан ОМ₂ –ге дейін, ал тасымал қозғалыстағы жылдамдығы шамасынан -ге дейән өзгереді. Тасымал қозғалыс жылдамдығының модулі тастың салыстырмалы қозғалысының тасымал қозғалысқа әсерінен (салыстырмалы қозғалыстың нәтижесінде тастың тасымалды қозғалыстағы айналу радиусы үздіксіз өзгеріп отырады) өзгереді. Өз кезегінде, тастың салыстырмалы қозғалыстағы шамасы тұрақты жылдамдығының бағыты тасымал қозғалыстың есебінен өзгереді. Олай болса, тасымал қозғалыста нүктенің салыстырмалы қозғалысынан, ал салыстырмалы қозғалыста нүктенің тасымал қозғалысынан пайда болатын қосымша үдеу Кориолис үдеуінің физикалық мағынасын анықтайды, яғни

Сонымен, Кориолис үдеуі салыстырмалы қозғалыстағы тасымал, тасымал қозғалыстағы салыстырмалы жылдамдықтарының өзгерісін сипаттайды.

14.1. Қатты дененің жазық параллель қозғалысының теңдеуі.

Қатты дененің жазық параллель қозғалысы деп дененің барлық нүктелерінің қозғалмайтын деп алынған негізгі жазықтыққа параллель жүргізілген жазықтықтардағы қозғалысын айтады немесе дене нүктелері қозғалмайтын жазықтыққа параллель жүргізілген өз жазықтықтарында қозғалыста болады. Мысал ретінде дөңгелектің түзу сызықты рельс бетімен сырғанамай домалайтын қозғалысы мен кривошипті-шатунды механизмнің шатунының қозғалыс келтіруге болады.

Жылжып бара жатқан денені шартты түрде қозғалмайтын деп алынған Н (14.1 - сурет) жазықтығына паралель Н₁ жазықтығымен қиғанда, осы жазықтықта S қимасы (жазық фигура) пайда болады. Жазық параллель қозғалыс анықтамасы бойынша S жазық фигурасы денемен бірге қозғала отырып, әр уақытта Н₁ немесе Oxy жазықтығында қалады. Сол сияқты, егер денені Н жазықтығына параллель көптеген жазықтықтармен қисақ, онда әр жазықтықта пайда болатын осындай S қималары (жазық фигуралар) да әрдайым өз жазықтықтарында қозғалады. Енді осы негізгі Н жазықтығына перпендикуляр бағытта жүргізілген кез келген бір түзудің бойында орналасқан АА₁ кесіндісін қарастырайық. Қозғалыстағы дененің кез келген уақыт мезетінде S жазық фигурасы әрдайым Н₁ жазықтығында жататын болғандықтан, АА₁ кесіндісі өзіне-өзі параллель (ілгерілемелі) қозғалады. Осы түзудің бойында орналасқан барлық нүктелердің қозғалысы жазық фигураның А нүктесі қозғалысындай өзара бірдей болады. Дәл осындай жазық фигураға перпендикуляр бағытталған ВВ₁ түзуінің бойында жатқан нүктелердің қозғалысы S қимасының В нүктесі қозғалысындай болады. Осы себептен дененің жазық параллель қозғалысын зерттегенде, оның қозғалмайды деп алынған жазықтыққа параллель кез келген қимасының (жазық фигурасының) өз жазықтығындағы қозғалысы қарастырылады. Қиманың өз жазықтығындағы орны осы жазық фигурада жататын А және В нүктелері арқылы жүргізілген АВ түзуінің орнымен анықталады.

Енді жазық фигураның қозғалмайтын тұрақты Oxy санақ жүйесіндегі қозғалысын қарастырайық. Жазық фиураның орнын анықтайтын АВ түзуінің А нүктесін полюс деп алып, фигурамен бірге қозғалатын Ax’y’ санақ жүйесін (14.2 - сурет) жүргізейік. Полюстің қозғалмайтын санақ жүйесіндегі координаттарын x_A ,y_A деп белгілей отырып, А полюсінің қозғалысын немесе фигураның ілгерілемелі қозғалысының t уақытында тәуелдік теңдеулерін x_A = x_A (t), y_A = y_A (t) түрінде жазуға болады, ал фигурасының айналмалы қозғалысы қозғалмалы Ax’y’ санақ жүйесінің қозғалмайтын Oxy санақ жүйесіне қарағандағы бұрылу бұрышымен анықталады.

Сонымен жазық фигураның өз жазықтығында қозғалыс теңдеулері мынадай түрде жазылады :

x_A = x_A (t), y_A = y_A (t), (14.1)

Кейбір дербес жағдайларда бұрышының шамасы тұрақты болса, онда кез келген уақытта тек қана х_А ,у_А координаттары өзгеріп тұрады. Бұл жағдайда қозғалмалы Ах’у’ санақ жүйесінің өстері қозғалмайтын Оху санақ жүйесінің өстеріне параллель қозғалып отырады, яғни дене ілгермелі қозғалыста болады. Егер, керісінше х_А және у_А координаттары тұрақты болып, бұрышының шамасы ғана өзгеріп отырса, яғни А нүктесі қозғалмайтын болса, онда фигура осы А нүктесі арқылы өз жазықтығына перпендикуляр өтетін тұрақты өстен айналады.