§ 12.1. Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысы

12.1-сурет

Дененің онымен өзгерместей болып бекітілген түзуі өзінің бастапқы қалпына параллель қалып отыратын қозғалысын ілгерілемелі қозғалыс деп атайды. Мысал ретінде автомобиль қорабының жолдың түзу сызықты бөлігіндегі, велосипед педалінің және 12.1-суреттегі механизмнің ВС буынының (звеносының) қозғалыстарын айтуға болады. Яғни ілге-рілемелі қозғалыстағы дене нүктелерінің траекториялары қисық сызықты да болатынын байқауға болады.

Мысалы, велосипедтің АВ педалі (12.2,а-сурет) қозғалғанда, өзінің бастапқы қалпына параллель қалып отырады, яғни педаль нүктелерінің

12.2-сурет

траекториялары түзу сызықты болмаса да, педаль ілгерілемелі қозғалыста болады. С нүктесінің траекториясы центрі О нүктесінде орналасқан шеңбер болады; сон-дықтан, мысалы, басқа А жэне В нүктелерінің траекториялары да центрлері O₁ жэне O₂ нүктелерінде орналасқан шеңберлер болады. (12.2,б-сурет). Бұл шеңберлердің радиустары өзара тең, өйткені олардың траекториялары да бірдей болуы қажет.

Енді дене қозғалысын сипаттайтын теңдеулерді анықтаймыз. Ілгері-лемеж қозғалыстағы дененің қозғалыс теңдеуін анықтау үшін, денеге бекітілген қозғалмалы Ax_l, y_l, z₁ санақ жүйесі өстерін (12.3-сурет) қозғалмайтын Oxyz санақ жүйесі өстеріне параллель бағыттаймыз. Дененің ілгерілемелі қозғалысында оған бекітілген санақ жүйесі өстері өздерінің бастапқы бағыттарына параллель бағытталады, яғни қозғалмайтын санақ жүйесінің өстеріне параллель болады. Онда денеге бекітілген қозғалмалы санақ жүйесінің қозғалмайтын санақ жүйесіндегі орны А нүктесінің орнымен анықталады. Бүл нүктенің орнын анықтау үшін, жоғарыда зерттелген нүкте қозғалысы берілуінің векторлық немесе координаттық тәсілдерін қолданамыз, яғни

Дененің А нүктесінің векторлық және үш скалярлық (12.1, 12.2) Тевдеулері дененің АВ түзуінің, сондай-ақ оның ілгерілемелі қозғалысын рипаттайды.

Ідгерілемелі қозғалыстағы дене нүктелерінің траекториялары, жылдамдықтары және үдеулері туралы теорема: ілгерілемелі қозгалыста дене нүктелерінің траекториялары, эюылдамдыцтары мен үдеулерінің әрбір уацыт кезінде мәндері мен багыттары бірдей, ягни дене нүктелері конгурентті цозгалыста болады.

Дененің А жэне В нүктелерінің жэне радиус векторлары (12.3-сурет) бір-бірінен айырмасы қатты дене анықтамасы бойынша, түрақты кесіндісіне (векторына) тең:

сол сияқты, АВ||А₁В₁||А₂В₂||.. ілгерілемелі қозғалыс анықтамасынан байқауға болатындай дейенің эрбір нүкте траектория-ларының үйлесетіні дәлелденеді.

(11.3) жэне (11.6) формулаларын пайд ал анып, (12.1) теңдеуінен бірінші жэне екінші туындылар тапсақ, дененің эрбір нүктесінің жылдамдықтары мен үдеулері өзара тең екендігін дэлелдеуге болады, яғни

(12.4)

Немесе

немесе

(12.1), (12.2), (12.4) жэне (12.5) теңдеулерінен дене ілгерілемелі қозғалысының барлық кинематикалық сипаттамаларын оның жалғыз ғана нүктесінің қозғалысы арқылы анықтауға болады деген қорытындыға келеміз.

§ 12.2. Қатты дененің тұрақты өстен айналмалы қозғалысы

12.4-сурет

12.2.1. Айналмалы ңозгалыстың теңдеуі. Дененің бүрыштыщ жылдамдыгы мен үдеуі. Егер қозғалыстағы дененің кем дегенде екі] нүктесі қозғалмайтын болса, онда мұндай дене тұрақтыі (қозғалмайтын) өстен айналмалы қозғалыста болады (12.4-сурет). А және В нүктелері арқылы жүргізілген АВ түзуінін барлық нүктелері тыныштық қалпын сақтайды жэне ол айналу өсі деп аталады. Дененің айналу өсінде жатпайтын барлық нүкте траекториялары, центрлері осы осте жататын, ал жазық-тықтары осы өске перпендикуляре болатын шеңберлер екенін байқау қиын емес. Айналмалы j қозғалыстағы дененің орны айналу өсі арқылы өтетін, қозғалмайтын Q және денеге бекітілген Р жарты, жазықтықтары арасындағы сэйкес таңбамен алынған екі жақты φ бұрышымен анықталады (12.5-сурет). Егер Аz координаттық өсінің оң жақ ұшынан қарағанда дененің] айналу бағыты сағат тілі айналысына қарама-қарсы болса, онда φ бұрышы оң шама деп, ал дененің айналу бағыты сағат тілі айналуымен бағыттас] келсе, онда φ бұрышы теріс шама деп есептеледі. φ бұрышы әр уақытты радианмен өлшенеді.

Дененің кез келген t уақыттағы орнын анықтайтын, бұдан былай айналуі бұрышы деп аталатын жазық φ бұрышы мен уақыттың арасындағы байланыс:

φ=φ(t) (12.6)

дененің қозғалмайтын өстен айналмалы қозғалысының теңдеуі немес^ айналу заңы болып табылады.

Егер △t уақьгг аралығындағы φ бұрышының өсімшесі △φ болса, онда төмендегі қатынас

(12.7)

дененің осы уақыт аралығщндағы орташа бұрыштық жылдамдығы деп аталады. Осы шаманың △t → 0 шегі, яғни

(12.8)

немесе

(12.9)

дененің берілген уақыттағы бұрыштық жылдамдығы немесе дененің айналмалы қозғалысының бүрыштыц жылдамдыгы деп аталады да, гректің (омега) эрпімен белгіленеді.

Бурыштық жылдамдық бағыты туьіндысы таңбасымен анықталады, ал 12.5-суретте жағдайдағы оның бағыты

көрсетілген.

Сонымен, бүрыштық жылдамдық дененің бірлік уацыттагы айналу бұрышының өзгеру шапшаңдыгын сипаттайтын шама екенін көреміз.

Бұрыштық жылдамдық өлшемі немесе

радиан өлшеусіз шама болғандықтан, болады.

Енді бұрыщтық үдеу туралы ұғымды қарастырайық. Егер △t уакит

аралығында бұрыштық жылдамдық өсімшесі △ болса, онда

(12.10)

(12.11) (12.12)

шамасы дененің осы уақыт аралығындағы орташа бұрыщтық үдеуі деп аталады. Осы шаманың △t→0 шегі, яғни

мемесе

дененің берілген уақыттағы бүрыштық үдеуі деп аталады да, гректің

(эпсилон) эрпімен белгіленеді.

Бұрыштық үдеудің бағыты туынды таңбасымен анықталады, ал

12.5-суретте > 0 жағдайдағы оның оң бағыты көрсетілген.

Сонымен, бүрыштыц үдеу дененің бірлік уақыттагы бұрыштьқ

жылдамдығының өзгеру шапшаңдыгын сипаттайтын шама екенін

көреміз.

Бұрыштық үдеудің өлшемі немесе болады.

12.2.2. Айналмалы қозгалыстагы дененің бүрыштың жылдамдыгы мен бұрыштың үдеу векторлары. Бұрыштық жылдамдықты айналу өсі

бойымен бағытталған вектор деп қарауға болады. Осы векторы ұшынан бақылаушыға дененің айналуы сағат тілі айналуына қарама-қарсы бағытта

болатындай көрінеді, яғни векторының бағыты оң бүранда ережесімен анықталады (12.5-сурет). Сонымен, векторы айналу өсінде жатады да, оның кез келген нүктесінде эсер етеді деп саналады, яғни бүрыштық жылдамдық векторы сырғымалы вектор болып табылады. Олай болса бүрыштыц жылдамдыцтыц векторы кез келген уацыт кезеңінде дененің айналу өсін, дененің осы өстен айналу багытын және дененің бүрыштыц жылдамдыгыныц модулін аныцтайды.

Бұрыштық үдеуді айналу өсінің бойымен бағытталған

векторымен өрнектеуге болады (12.5-сурет). Дененің үдемелі айналмалы

қозғалысында және векторлары бағыттас, ал кемімелі айналмалы қозғалысында қарама-қароы болады.

(12.9) және (12.12) теңдеулерімен анықталған және шамалары со жэне s векторларының айналу өсіне проекциялары болып саналады, яғни Пр_z[] = , Пр_z[] = .

12.2.3. Бірңалыпты айналмалы қозгалыс. Егер айналмалыл қозғалыстың барлық кезеңінде бұрыштық жылдамдық түрақты (= const) болса, онда айналмалы қозғалыс бірқалыпты болады. Мұндай қозғалыс теңдеуін (12.9) формуласынан анықталған интеграл табу арқылы анықтаймыз:

φ=φ₀+t, (12.13)

мұнда φ₀- алғашқы айналу бұрышы (t = 0 кезіндегі).

12.2.4. Бірңалыпты айнымалы айналмалы ңозгалыс. Егер айналмалы Қозғалыстың барлық кезеңінде бүрыштық үдеу тұрақты ( = const) болса, Онда айналмалы қозғалыс бірқалыпты айнымалы (үдемелі немесе

кемшелі) болады. Бұл айналмалы қозғалыс теңдеулерін екенін

ескере отырып, екі рет анықталған интеграл алу арқылы анықтаймыз:

=₀t (12.14)

(12.15)

мұнда - бастапқы бұрыштық жылдамдық (t = 0 кезіндегі). Енді φ айналу бұрышы мен N айналым саны және бұрыштықжылдамдық пен техникада жиі кездесетш аиналу жиілігшің

араларындағы механика есептерін шығаруда пайдаланатын байланыс-гарды қарастырайық.

Дененің айналу өсінде жатпайтын кез келген нүктесі шеңбер бойымен дсне өз өсінен бір рет айналғанда, φ= 2 радианга (360°) бұрылады, ал N айналым санына сэйкес айналу бүрышы

φ= 2 (12.16)

Егер дененің бір минуттағы айналу жиілігін деп алсақ, онда

дененің пен өлшенетін бұрыштық жылдамдығы

=

12.2.5. Айналмалы крзгалыстагы дене нүктелерінің жылдам- дықтары мен үдеулері. Айналу z өсінен һ қашықтығында жататын М нүктесін қарастырайық (12.6, 12.7-суреттер). Дене айналғанда, М нүктесі радиусы А-қа тең жазықтығы айналу өсіне перпендикуляр болатын шеңбер сызады. Бүл шеңбердің О центрі айналу өсінде жатады. М нүктесінің өзінің траекториясындагы орнын қозгалмайтын Q жазықтығында (12.5- сурет) жататын бір А нүктесінен есептелетін s догалық координатымен анықтаймыз. s догасы есептелуінің оң бағыты ретінде айналу φ бұрышының оң бағыты қабылданады.

Онда s доғасының үзындыгы

s = hφ = hφ(t) (12.18)

формуласымен анықталады. М нүктесінің жылдамдыгы (11.26) формула бойынша

(12.19)

М нүктесінің осы жылдамдығы нүктенің сызьщтыц жылдамдыгы деп аталады. шМШ

Сонымен, айналмалы цозгалыстагы дене нүктесінің сызыцтыц жылдамдыгы дененің бүрыштыц жылдамдыгы мен нүктеніц айналу өсіне дейінгі цашыцтыгының көбейтіндісіне тең. Сызықтық жылдамдық векторы шеңбердің М нүктесінен жүргізілген жанаманың бойымен айналу бағытына қарай бағытталады.

Бүрыштық жылдамдық тұтас дененің кинематикалық сипаттамасы болатындықтан, (12.19) формула бойынша айналмалы қозғалыстағы дене нүктелерінің жылдамдықтары осы нүктелердің айналу өсіне дейінгі қашықтықтарына пропорционал болады.

12.7-сурет

12.6-сурет 12.7-сурет

(11.32) және (11.34) формулалары арқылы нүктенің жанама және нормаль үдеулерін табуға іболады:

(12.20)

(12.21)

мұнда шеңбер үшін р = һ.

Демек, жанама үдеу векторының модулі:

мұнда - бүрыштық үдеудің aбcoлют шамасы. Дененің үдемелі айналмалы қозғалысында жанама үдеу векторы сызықтық жылдамдықтың v векторымен бағыттас болады (12.6-сурет). Дененің кемімелі айналмалы қозғалысында а_т және v векторлары бір-біріне қарама-қарсы бағытталады (12.7-сурет). М нүктесінің нормаль үдеу векторының модулі

Нормаль а_п үдеу векторы эрдайым М нүктесі сызатын шеңбер радиусының бойымен айналу өсіне қарай бағытталады. Нүктенің толық үдеу векторының модулі

(12.22)

а векторының бағыты осы вектордың М нүктесі сызатын шеңбердің ОМ радиусымен жасайтын а бүрышымен анықталады. (12.6) жэне (12.7) суреттерден

( 12.23)

12.2.6. Айналмалы қозгалыстагы нүкте жылдам-дьщтары мен үдеулерінің векторльщ көбейтінділері түріндегі формулалары. Айналмалы қозғалыстағы қатты дене нүктесінің жылдамдығының векторлық формуласын қорытып шығарайық. Ол үшін айналу

өсінде жататын кез келген О нүктесі арқылы векторын өс бойымен бағыттап, М нүктесінің r радиус-векторын жүргіземіз (12.8-сурет). М нүктесі сызатын шеңбер центрін О₁ деп белгілейміз. Жылдамдық векторының модулі (12.19) формула Мойынша

v = h

ОМО₁ үшбұрышынан:

h=rsina.

Мұнда а бүрышы жэне r векторларының арасындағы бұрыш. Сондықтан

v = rsina.

Осы теңдіктің оң жағы r векторлық көбейтіндісінің модуліне тең, дёмек,

v = |r |.

|r векторлық көбейтіндісіне тең болатын көбейтінді вектор жэне r нскторлары жататын ОМО₁ үшбүрышының жазықтығына перпендикуляр

бағытталады және осы вектордың үшынан қарағанда векторынанr r векторына қарай қысқаша айналу бағыты сағат тілі айналысына кері бағытта болатындай көрінуі қажет. Бүдаң v және r векторлары өзара параллель және бір жаққа қарай бағытталатынын, оған қосымша осы векторлардың модульдары бір-біріне тең екенін көруге болады.

Сондықтан v = r, (12.24)

яғни айналмалы цозгалыстагы дене нүктесінің жылдамдъщ векторы дененің бүрыштыц жылдамдъщ векторы мен айналу өсінде жататын кез келген нукте арцылы жүргізілген дене нүктесініц радиус-векторыныщ векторлыц көбейтіндісіне тең. Бүл формула Эйлер формуласы деп аталып, айналмалы цозгалыстагы дененің кез келген Щрапесініц жылдамдыгының модулімен багытын аныцтауга мүмкіндік береді.

Эйлер формуласында нүктенің радиус векторын модулі түрақты векторі деп алып, (11.3) формуланы ескере отырып, оны мынадай түрде жазуға болады.

Осы формула бойынша модулі тұрақты және бағыты айнымалы болатын радиус-вектордан уақыт бойынша алынган бірінші туынды бүрыштыц жылдамдъщ векторы мен радиус-вектордыц векторлыц көбейтіндісіне тец болады. Модулі тұрақты вектордан алынған туынды осы вектордың годографына жүргізілген жанаманың бойымен, яғни радиус-вектор үшының жылдамдық векторымен дәлме-дәл келеді. Осы туындының абсолют шамасы радиус-вектор ұшының жылдамдығының модуліне тең, яғни

Енді айналмалы қозғалыстағы дене нүктесі үдеуінің векторлық формуласын анықтайық. Ол үшін (12.24) теңдіктің екі жағынан да уақыт бойынша туынды алайық:

мұнда

екенін ескере отырып, алдыңғы теңдікті былай жазуға болады:

₍₁₂₂₆₎

Бұл формула М нүктесінің үдеуі екі қүраушыға жіктелетінін көрсетеді. Енді формуладағы цосылгыштардың әрқайсысын жекелеп қарастырайық. Қарастырылып отырған жағдайда дене үдемелі айналмалы қозғалады делік (және векторлары айналу өсінің бойымен бір жаққа қарай бағытталған).

ехг векторы, сох г векторы сияқты траекторияның А/нүктесі арқылы жүргізілген жанаманың (12.9-сурет) бойымен бағытталады жэне оның модулі: (12.20)

формуланы ескере отырып, векторының модулі мен бағыты М нүктесінің жанама үдеу векторының модулі мен бағытына дәлме-дәл болатынын көруге болады. Сондықтан

. (12.27)

яғни айналмалы цозгалыстагы дещ нүктесінің

жанама үдеу векторы дененің бүрыштъщ үдеу векторы мен нүктеніц радиус-векторының векторлыц көбейтіндісіне тең. векторының бағыты дененің бұрыштық жылдамдық векторы мен М нүктесінің v жылдамдық векторы жататын жазықтыққа перпендикуляр және М нүктесі сызатын шеңбердің һ радиусы бойымен О₁ центріне қарай бағытталады. векторының модулі:

М нүктесі радиусы Һ = О_хМ шеңбер бойымен қозғалғанда:

v = h

Онда ² h

(12,21) формуланы ескере отырып, векторының модулі мен бaғыты М нүктесінің а_п нормальдық үдеу векторының модулі мен бағытына дәлме-дэл болатынын көруге болады. Сондықтан

а_п= (12.28)

Сонымен, айналмалы қозгалыстагы дене нүктесінің нормаль үдеу векторы дененіц бұрыштъщ жылдамдық векторы мен нүктенің сызықтық жылдамығы векторыныц векторлық көндісіне тец.

XIII тарау. НҮКТЕНІҢ КҮРДЕЛІ ҚОЗҒАЛЫСЫ