VIII тарау. Жазық фермаларды есептеу әдістері

$8.1. Ферма туралы ұғым

Теориялық механикада ферма деп салмақтары ескерілмейтін және бір-бірімен топсалар арқылы байланыстырылған сырықтардан құрастырылған қатаң торламалы құрылманы айтады. Ферма сырықтарының қосылған жері түйіндер деп аталады. Фермаға әсер ететін белсенді күштер тек түйіндерге ғана түсіріледі.Егер ферманы құрайтын сырықтар бір жазықтықта жататын болса, онда мұндай ферма жазық ферма деп аталады. Енді осы жазық ферманы есептеу әдістерін қарастырайық. Әсер етуші сыртқы күштер ферма түйіндеріне түсірілетін болғандықтан, әрбір салмақсыз түзу сырықтың екі ұшына сырық бойымен модульдары бір-біріне тең және қарама-қарсы бағытталған екі күш әсер етеді. Олай болса, ферманың әрбір сырығы осы күштердің әсерінен не созылуы, не сығылуы мүмкін.

Нақты жағдайда ферма сырықтарының салмағы бар және олар бір-бірімен топсамен емес, пісіру немесе шегендеу арқылы мықтап байланыстырылады. Соның нәтижесінде ферма сырықтары өз салмағының әсерінен иілуі де мүмкін. Бірақ әр сырықтың салмағы түйіндерге түсірілетін күштермен салыстырғанда аз болғандықтан, есептеу кезінде сырық салмағын ескермеуге болады. Сондықтан ферма сырықтары иілмей тек қана, созылуы немесе сығылуы мүмкін деп тұжырымдауға болады. Топса арқылы өзара жалғастырылған сырықтардың барлығы ферма бола алмайды. Анықтама бойынша түсірілген күштің әсерінен ферманың формасы өзгермеуі қажет. Ферманы өзара топсалармен байланысқан үш сырық арқылы көрсетуге болады. (8.1,б-сурет). Осындай формасы өзгермейтін ферма оған әсер ететін күштерге төзімді болады. Егер топсалр арқылы төот сырықты (8.1,б-сурет) өзара жалғастырсақ, онда мұндай жүйе ферма емес, механизм деп аталады. Механизм түйіндеріне түсірілген күштердің әсерінен сырықтар бір-біріне қарағанда қозғалыста болады. Осы төртбұрыш ферма болуы үшін, қарама-қарсы тұрған екі төбесін диагональ бойымен бағытталған сырық арқылы жалғастыру қажет (8.1,в-сурет). Егер төртбұрыштың басқа екі төбесін де өзара сырықпен қоссақ, онда бұл төртбұрыш та ферма болады(8.1,г-сурет). 8.2-суретте төбелері топсалар арқылы қосылған бірнеше сырықтық үшбұрыштардан құралған жазық сырықты ферма көрсетілген.

Егер ферманың бір ғана сырығын алып тастағанда нақтылығы(қатаңдығы) жоғалатын болса, онда мұндай ферманың артық сырығы болмайды. Артық сырықтары жоқ ферма ретінде 8.1,а-суреттегі үшбұрышты немесе 8.2-суреттегі сырықтық үшбұрыштардан құралған жазық ферманы алуға болады. Егер бір немесе бірнеше сырығын алып тастағанда ферма өзінің нақтылығын жоғалтпаса, онда мұндай ферманың артық сырықтары бар делінеді. Артық сырығы бар ферма ретінде екі диоганальмен өзара тартылған төртбұрышты ферманы алуға болады (8.1,г-сурет). Егер осы фермадан диагональ бойымен бағытталған сырықтардың біреуін алып тастасақ, онда ол нақтылығын жоғалтпайды. Сондықтан осы фермадағы диагональ бойымен бағытталған екінші сырық артық болады.

Сырықтық үшбұрыштардан құралған артық сырықтары жоқ жазық ферманың k сырықтар саны мен n түйіндер санының арасындағы байланыс мынадай түрде жазылады: k=2n-3 (8.1)

Бұл жағдайда ферманың артықтары жоқ. Егер , ұштары топсалармен байланысқан сырықтық жүйе өзгермелі болады, яғни ферма бола алмайды. Конструкция жылжымалы болғандықтан, ол механизмге айналады. Егер болса, онда ферманың артық сырықтары бар (8.1,г-сурет). Егер артық сырықты алып тастасақ, ферма нақтылығын жоғалтпайды(8.1,в-сурет). Мұндай фермалар құрылыста кеңінен қолданылады, себебі артық сырықтар ферманың беріктілігін жақсартады. Бірақ мүндай фермаларды статика тәсілдерін қолданып есептеуге болмайды. Өйткені теңсіздік шартын қанағаттандыратын фермалар статикалық анықталмайтын фермалар қатарына жатады. Мұндай фермалар материалдар кедергісі және құрылыс механикасы курсында қарастырылады. Сондықтан енді біз тек қана артық сырықтары жоқ (8.1)теңдеуді қанағаттандыратын жазық фермаларды ғана қарастырамыз.

Алдағы уақытта ферма сырықтарының барлығы түзу сызықты, топсаларда үйкеліс жоқ және фермаға әсер ететін күштер түйіндерде түсіріліп ферма жазықтығында жатады деп есептейміз. Ферманың анықтамасы бойынша сырықтар салмағы ескерілмейді деп айтылған болатын.

Енді фермаларды есептеу деген ұғымға тоқталайық. Ферманы есептеу дегеніміз-ферма тіреулерінің реакцияларын және түйіндерге түсірілетін күштердің әсерінен пайда болатын сырықтардың бойлық күштерін анықтау. Әрбір сырық өзінің ұщтарымен түйінге кіреді. Егер оған түйін жағынан түсірілген және күштерінің әсерінен сырық созылатын болса(8.3,а-сурет), онда оның түйіндерге жасайтын қысымы(реакциясы) () түйіндерден сырықтың ортасына қарай бағытталады. Егер түйін жағынан түсірілген күштерінің әсерінен сырық сығылатын болса(8.3,б-сурет), онда оның түйіндерге жасайтын қысымы сырықтың ортасынан түйіндерге қарай бағытталады.

Сонымен, әрбір сырық өзінің бойымен бір-біріне қарама-қарсы бағытталған, модульдары өзара тең және оның ұштарына түсірілген екі күштің әсерінен тепе-теңдікте болады.

Ферма сырықтарының бойлық күштері фермаға әсер ететін күштерге тәуелді. Ферма қозғалмайтын жүйе болғандықтан, оның тіреу реакцияларының саны үштен аспауы керек. Сондықтан ферма екі тіреуге орналастырылады: оның біреуі жылжымайтын топса болса, екіншісі жылжымалы тіреу(каток) болады. Осы үш белгісіз тіреу реакцияларынан басқа ферманың әрбір k стерженінің бойлық күштерін анықтау керек болады. Сонымен, барлық белгісіздер саны k+3-ке тең. Енді осы белгісіздерді анықтайық.

$8.2. Түйіндерді кесу тәсілі

Ферманың барлық сырықтарының бойлық күштерін анықтау кезде бұл тәсілді қолдану тиімді болады. Ферма түсірілген белсенді күштердің және тіреулердің реакция күштерінің әсерінен тепе-теңдікте болатындықтан, әрбір ойша кесіліп алынған түйін де тепе-теңдікте болуы қажет. Кесіліп алынған түйіндерге кесілген сырықтардың реакция күштері, берілген белсенді күштер және тіреу реакциялары әсер етеді. Түйіндерге түсірілген күштер теңескен күштер жүйесін құрайды. Олай болса, сырықтардың бойлық күштері жинақталатын күштердің жазық жүйесінің тепе-теңдік шарттарынан анықталады. Енді осы мәселені төмендегі есепті шешу арқылы қарастырайық.

8.1-есеп. 8.4-суретте көрсетілген ферма тіреулерінің реакциялары мен сырықтардың бойлық күштерін анықтаңыз. Фермаға әсер ететін жүктемелер:

=2kN, =3kN , =4kN , =2kN.

Шешуі: Есептің шешуін тіреу реакцияларын анықтаудан бастаймыз. Фермаға әсер ететін күштер жуйесінің тепе-теңдік теңдеулері:

- =0;

(1)теңдеуден: = =3kN

(2)теңдеуден: = 2.2kN