6)Дифференцирование сложных функций.

Пусть дана функция  , где  . Тогда  есть сложная функция (суперпозиция функций).

Как найти производную сложной функции зная  и  ?

Т.5.1. Если функция  имеет производную  в некоторой точке  а функция  имеет производную  в соответствующей точке, то сложная функция  в данной точке  имеет производную, которая вычисляется по формуле

или  .

Таким образом, производная сложной функции по независимой переменной равна производной данной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной.

Доказательство.

Так как по условию функция  имеет в точке  конечную производную, то воспользуемся общим правилом дифференцирования.

Дадим переменной  приращение  , тогда промежуточный аргумент получит приращение  , а функция  .

Пусть  при  .

Тогда  (5)

 

Переходя к пределу в равенстве (5), получим

.

Так как функция  дифференцируема, следовательно, она непрерывна, и при  и  .

Тогда  .

Или  .

Следствие. Если функция составлена не из двух, а из трех звеньев, т.е.

, ,  , то согласно (5) имеем:

.

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производных от функций ее составляющих.

Заключение. На лекции мы ввели понятие производной функции, изучили правило дифференцирования, рассмотрели геометрический и физический смыслы, знаем формулу дифференцирования сложной функции. На следующей лекции мы продолжим изучение этой темы.

7Дифференцирование неявных функций.

8Экстремум функции нескольких переменных.

9Необходимые и достаточные условия экстремума.

10Определение двойного интеграла.

11Свойства двойного интеграла.

12Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.

13Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

14Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа.

15Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

16Показательная форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в показательной форме.

17Числовые ряды. Основные понятия. Сходимость ряда.

18Необходимый признак сходимости ряда.

19Примеры числовых рядов (гармонический ряд, обобщенный гармонический ряд, ряд геометрической прогрессии).

20Признаки сравнения.

21Признак Даламбера.

Признак Коши радикальный.

22Признак Коши интегральный.

23Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная сходимость.

24Признак Лейбница.

25Функциональные ряды. Основные понятия и определения.

26Сходимость степенного ряда. Теорема Абеля.

27Интервал сходимости. Радиус сходимости. Способы нахождения радиуса сходимости ряда.

28Ряды Тейлора и Маклорена.

29Разложение функции в ряд Маклорена.

30Разложение функции в ряд Маклорена.

31Разложение функции в ряд Маклорена.

32Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

33Задача Коши. Теорема существовании и единственности.

34Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

35Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

36Размерно-однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

37Уравнения в полных дифференциалах.

38Дифференциальные уравнения высших порядков, основные понятия.

39Уравнения, допускающие понижение порядка.

40Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Три формы записи решения.

41Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

42Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами, когда правая часть имеет вид .

43Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами, когда правая часть имеет вид .