4)Частные производные высших порядков.

Частные производные высших порядков

Рассмотрим функцию двух переменных n=2,  . Предположим, что функция имеет частные производные

,                        ,

которые являются функциями двух переменных. Их называют частными производными первого порядка. Предположим, что они дифференцируемы.

Определение 1. Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка.

=  ,                         =  .

=  ,                        =  .

Две последние называют смешанными производными.

Если полученные функции являются дифференцируемыми, то частные производные от них называются частными производными третьего порядка. Например:

.

Определение 2. Частной производной n-го порядка называется частная производная от частной производной (n-1)-го порядка. Частных производных n-го порядка от функции двух переменных 2ⁿ штук.

Частная производная порядка р функции   имеет вид

, где  .

Теорема. Если частные производные первого порядка некоторой функции непрерывно дифференцируемы, то результаты смешанного дифференцирования равны.

.

5) Дифференциалы высших порядков.

Определение дифференциала высшего порядка

Рассмотрим функцию y = f(x), которая является дифференцируемой на интервале (a, b). Дифференциал первого порядка данной функции в точке x ∈ (a, b) определяется формулой

Видно, что дифференциал dy зависит от двух величин − от переменной x (через производную f'(x)) и от дифференциала независимой переменной dx.  Зафиксируем приращение dx, т.е. будем считать, что dx является постоянной величиной. Тогда дифференциалdy представляет собой функцию только переменной x, для которой можно также определить дифференциал, причем в качестве приращения Δx возьмем тот же самый дифференциал dx. В результате мы получим второй дифференциал или дифференциал второго порядка, который обозначается как d ²y или d ²f(x). Итак, по определению,

Обычно обозначают (dx)² = dx². Поэтому получаем:

Таким же образом можно установить, что третий дифференциал или дифференциал третьего порядкаимеет вид

В общем случае дифференциал произвольного n-го порядка выражается формулой

которую можно строго доказать методом математической индукции. Отсюда, в частности, следует соотношение для производной n-го порядка:

Заметим, что для линейной функции y = ax + b второй дифференциал и последующие дифференциалы более высокого порядка равны нулю. Действительно,

В таком случае, очевидно, что

Свойства дифференциала n-го порядка

Пусть функции u и v имеют производные n-го порядка. Тогда справедливы следующие свойства:

Последнее равенство непосредственно следует из формулы Лейбница.

Дифференциал второго порядка сложной функции

Рассмотрим теперь композицию двух функций, таких, что y = f(u) и u = g(x). В таком случае y является сложной функцией от независимой переменной x:

Первый дифференциал функции y записывается в виде

Вычислим второй дифференциал d ²y (считая dx по определению постоянной величиной). Используя правило дифференцирования произведения функций, получаем:

Учтем, что

Следовательно,

или в краткой форме

Полученные формулы показывают, что дифференциал второго порядка, в отличие от первого дифференциала, не обладает свойством инвариантности формы. В формуле для второго дифференциала появляется дополнительное слагаемое  y'd ²u.  Впрочем, в случае линейной функции  u = g(x) = ax + b  ее второй дифференциал равен

Поэтому для этого случая инвариантность формы второго дифференциала d ²y сохраняется.