Вопросы к экзамену Специальность

130400.65 Горное дело

Для обучающихся 2 курса (3 семестр обучения)

1)Определение и способы задания функции 2-х переменных.

Величина 𝚣 называется функция двух переменных, величин x и y на множестве Д если каждой точки этого множества соответствует единственное значение величины 𝚣:

z = f ( x, y) или z= z (x ,y)

Множество (Д) называется областью определение функций, обычно областью определения функций 2-х переменных служит некоторая часть плоскости.

Определение функции большого числа переменных вводится аналогично.

Способы задания:

1) Аналитический способ – это задание функции с помощью формулы.

2) Табличный способ – Например для функции 2-х переменных осуществляется с помощью таблицы с двойным вводом(x и y ) .

3) Графический способ состоит в задании графика функции:

• Графиком функции одной переменной является линия в двух мерном пространстве R² .

• Графиком функции 2-х переменных, является поверхность в 3-х мерном пространстве R³ . (сфера, плоскость, эллипсоид) .

2)Частные производные первого порядка.

Пусть функция z= f( x ,y) определена в некоторой плоскости ОXY рассмотрим внутреннею точку (x, y) принадлежащей Д и зададим x приращения ⌂х такое чтобы точка с координатами (х+⌂хy) принадлежало Д при этом значение переменной постоянно у остается не низменным

Пусть функция   определена в области   и  . Тогда при малых   определено ее частное приращение по  :  .

         Определение. Частной производной функции   по переменной    в точке   называют предел

,

если он существует.

         Частную производную по   обозначают одним из следующих символов:

.

Аналогично определяется частная производная по   и вводятся ее обозначения.

         Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.

         Пример. Найти частные производные функции  .

 Имеем:

,    . ^

3)Дифференциалы первого порядка.

Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение Δy(x0,Δx) может быть представлено в виде

Δy(x0,Δx)=AΔx+o(Δx).

 

Главная линейная часть AΔx приращения Δy называется дифференциалом этой функции в точке x0, соответствующим приращению Δx, и обозначается символом dy(x0,Δx).

Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы существовала производная f′(x0), при этом справедливо равенство A=f′(x0).

Выражение для дифференциала имеет вид

dy(x0,dx)=f′(x0)dx,

где dx=Δx.

Свойства дифференциала:

1. d(C)=0, где C− постоянная;

2. d(C1u+C2v)=C1du+C2dv;

3. d(uv)=udv+vdu;

4. d(uv)=vdu−udvv2;

5. Пусть z(x)=z(y(x))− сложная функция, образованная компазицией функций y=y(x) и z=z(y). Тогда

dz(x,dx)=z′(y)dy(x,dx),

то есть выражение для дифференциала сложной функции через дифференциал промежуточного аргумента имеет такую же форму, что и основное определение dz(x,dx)=z′(x)dx. Это утверждение называется инвариантностью формы 1-го дифференциала.