Розділ іі Навіщо потрібні прості числа

2.1. Підмножини простих чисел, з яких можна скласти магічні квадрати. Історія появи магічних квадратів

Магічний квадрат – квадратна таблиця з цілих чисел, у якій суми чисел вздовж будь-якого рядка, будь-якого шпальти і із двох головних діагоналей рівні одному й тому числу.

Магічний квадрат має давньокитайське походження. Згідно з легендою, за правління імператора Ю (прибл. 2200 до н. е.) з вод Хуанхе (Жовті річки) спливла священна черепаха, на панцирі якому було написані таємничі ієрогліфи (див. додаток 3, мал. 1а), й інші знаки за назвою ло-шу і рівнозначні магічному квадрату, (див. додаток 3, мал. 1б.) У 11 ст. про магічні квадрати дізналися в Індії, а потім у Японії, де магічним квадратам присвячувалася велика література. Європейців з магічними квадратами познайомив в 15 ст. візантійський письменник Э.Мосхопулос. Першим квадратом, вигаданим європейцем, вважається квадрат А.Дюрера (див. додаток 3, мал.2), зображений з його знаменитої гравюри «Меланхолия». Дата створення гравюри 1514р. зазначена числами, що стоять у двох центральних клітинах нижньої рядки. Магічним квадратах приписували різні містичні властивості. У 16 ст. Корнелій Генріх Агриппа побудував квадрати 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го і 9-го порядків і з астрологією 7 планет. Існувало повір'я, що вигравіруваний на сріблі магічний квадрат захищає від чуми. Навіть серед атрибутів європейських віщунів помітні магічні квадрати.

У 19 і 20 ст. інтерес до магічних квадратів спалахну з новою силою. Їх стали досліджувати за допомогою методів вищої алгебри .

Правила побудови магічних квадратів ділиться на три категорії залежно від того, який порядок квадрата: непарний, дорівнює подвоєному непарному числу або дорівнює почетвереному непарному числу.

Виникає питання чи можна побудувати магічний квадрат із простих чисел. Очевидно, що число 2 не можна вписати в жодний магічний квадрат, так сума чисел у рядку і стовпці на перетині, яких знаходилося 2 відрізнялася б від суми чисел в інших рядках і стовпцях парністю.

Доведено, що для n ≥ 3 існує нескінченно багато магічних квадратів будь-якого порядку.

Наведемо приклади третього і четвертого порядку

2.2. Найбільше просте число на даний час

Кертіс Купер (див. додаток 4), математик з Університету Центрального Міссурі, відкрив нове найбільше просте число. На його думку, цю подію можна порівняти з підкорення Евересту або висадкою на Місяць.

Знайдене вченим число записується більш, ніж 17 млн. цифр. Завдяки цьому відкриттю комп’ютери не стануть працювати швидше і не будуть створені нові ракетні двигуни. Але для Кертіса Купера його рекорд має велике значення.

Якщо знайдене число надрукувати шрифтом Times Roman дванадцятим кеглем, воно розтягнеться приблизно на 50 кілометрів. Це вже третє велике просте число, знайдене Купером, але за його твердженням, від цього відкриття не стало для нього менш чудовим. На думку вченого, рішення такої задачі для математика схоже підкоренню Евересту, оскільки досягнення так само відбуваються з особистого бажання, а не по необхідності.

«Ми працювали над пошуком числа декілька років, - заявив учений. - Щодня перевірялося по 50-70 чисел, але знайти нового рекордсмена ніяк не вдавалося. І ось 25 січня – джекпот. Сам процес перебору чисел – це самий справжній пошук голки в копиці сіна».

Шістнадцять років тому був започаткований проект Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), в рамках якого за допомогою розподіленої системи комп'ютерів добровільних учасників виконується пошук великих простих чисел Мерсенна. 6 лютого куратори проекту оголосили, що Купер відкрив сорок восьме просте число Мерсенна.

Простих чисел Мерсенна дуже мало, і кожне наступне відшукати все важче.

Щоб знайти нове, Купер скористався тисячею комп'ютерів в кампусі свого університету. На кожному з них по черзі перевірялися окремі числа. Машини з двохядерними процесорами могли перевіряти відразу по два числа.

Комп'ютер, якому належить честь відкриття простого числа з 17 млн. цифр, - це настільна система Dell з двох ядерним процесором Intel. Ця машина, встановлена в університетській лінгвістичній лабораторії, працювала без перерви 39 діб, перебравши 57 млн. чисел.

У 1997 році, коли Купер почав шукати числа Мерсенна, в його розпорядженні було всього чотири комп'ютери.

«У нас не було сервера, і мені доводилося самому стежити за кожним комп'ютером, - розповідає вчений. - Контроль більше чотирьох машин я б не подужав. Але потім з'явився сервер, багато речей було автоматизовано, покращилося програмне забезпечення, і ми змогли підключити до роботи ще масу комп'ютерів. Для мене важливо мати ціль та працювати для її досягнення. Кожний ранок я прокидаюся і йду дивитися, як там наші комп'ютери. Мене дуже захоплює процес пошуку чисел».

Щоб підтвердити відкриття, нове число Мерсенна було незалежно перевірене програмами на різному обладнанні, повідомляють у GIMPS. Один з тестів, що зайняв 3,6 доби, перевірявся на обчислювальній установці на базі графічних процесорів Nvidia, а інший 4,5 доби, - на Intel Core i7.

Своє перше рекордне просте число Купер відкрив у 2005 році, наступне - в 2006-му В 2008 році математики Каліфорнійського університету в Лос-Анджелесі перевершили досягнення Купера, і з тих пір утримували пальму першості відкривши просте число, записуване 12 978 189 знаками.