Требования к оформлению контрольных работ

Контрольная работа должна быть выполнена как в печатном, так и рукописном варианте. При выборе печатного способа с использованием компьютера и принтера на одной стороне листа белой бумаги формата A4 через полтора интервала, допускаются различные вида шрифта, размера 14, абзацный отступ должен составлять 15 мм.

Титульный лист оформляется согласно приложению 1

В конце контрольной работы следует вставить чистый лист для замечаний преподавателя по контрольной работе.

В конце работы следует указать литературу, использованную при выполнении контрольной работы (список литературы оформляется согласно приложению 2).

Если в работе допущены недочеты и ошибки, то студент должен выполнить все указания преподавателя, данные в рецензии.

Контрольные работы должны быть выполнены в срок (в соответствии с учебным планом).

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика»

Задания контрольной работы и указания (примеры) по их выполнению

Задание 1.

При решении задач 1-20 следует применять теоремы сложения и умножения вероятностей.

Задача 10. В урне имеется десять шаров с номерами от 1 до 10. Наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Найти вероятность того, что последовательно появятся шары с номерами 1, 4, 6.

Типовые задачи из задания 1 и их решение.

Пример 1. Работа устройства прекратилась из-за выхода из строя одного из пяти одинаковых блоков. Тестировать прибор для определения неисправности в данных условиях невозможно. Поэтому решено последовательно производить замену каждого блока новым до тех пор, пока устройство не начнет работать. Какова вероятность того, что при таком способе придется заменить ровно 4 блока.

Решение.

Обозначим через A_i событие «i-й заменяемый блок исправен», i=1,2,3,4, а через В – событие «будет заменено ровно 4 блока». Тогда событие В есть произведение событий . По формуле умножения вероятностей имеем:

поскольку

Ответ: 1/5.

Пример 2. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0.38. Найти вероятность попадания в цель первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0.8.

Решение.

Обозначим через A_i событие «i-е орудие при одном выстреле попадает в цель», i=1,2, а через В – событие «одно попадание в цель при одном залпе». Тогда . Воспользуемся теоремой сложения: поскольку события и несовместны, то . Теперь воспользуемся теоремой умножения вероятностей: поскольку события и , и независимы, то

.

В итоге имеем:

откуда .

Ответ: 0.7.

Пример 3. Из партии в 20 деталей случайным образом для проверки отбирают три детали. Известно, что в партии содержится пять бракованных деталей. Найти вероятность того, что в числе отобранных есть хотя бы одна годная деталь.

Решение.

Обозначим через В событие «среди отобранных трех деталей есть хотя бы одна годная». Тогда противоположное событие будет заключаться в том, что среди отобранных деталей нет годных вообще. Отсюда имеем: . Вероятность события определим с помощью классического определения вероятности: число всех возможных случаев отбора трех деталей из партии равно ; число случаев, благоприятствующих событию , равно . Отсюда . Итоговый ответ: .

Задание 2.

При решении задач 1-20 следует применять основные формулы теории вероятностей: формулу полной вероятности, формулу Байеса, формулу Бернулли.

Задача 10. Решить задачу 5 при условии, что требуется найти вероятность того, что получивший вознаграждение застрахованный относится к группе малого риска.

Типовые задачи из задания 2 и их решение.

Пример 1. Больница специализируется на лечении заболеваний А, Б и В. Количества больных, поступаюцих в эту больницу с заболеваниями А, Б, В находятся в отношении 5:3:2 соответственно. Вероятность полного излечения болезни А равна 0.7, для болезней Б и В эти вероятности соответственно равны 0.8 и 0.9. Найти вероятность того, что поступающий в больницу больной будет выписан здоровым.

Решение.

Обозначим через Н₁, Н₂, Н₃ соответственно следующие события: «больной страдает болезнью А», «больной страдает болезнью Б», «больной страдает болезнью В».Пусть С означает событие «больной будет выписан здоровым». Поскольку Н₁, Н₂, Н₃ составляют полную группу попарно несовместных событий, то для определения вероятности события С применим формулу полной вероятности: .

По условию , , . Кроме того, поскольку количества больных, страдающих болезнями А, Б и В, находятся в отношении 5:3:2, то , , .

В итоге имеем:

Ответ: 0.77

Пример 2. Решить предыдущую задачу при условии,, что требуется найти вероятность того, что выписанный здоровым больной страдал болезнью В.

Решение.

Сохраним обозначения, использованные при решении предыдущей задачи. В этих обозначениях требуется найти условную вероятность , где событие означает «выздоровевший больной страдал болезнью В». Воспользуемся формулой Байеса: .

Ответ: 2/11.

Пример 3. Отрезок разделен на две равные части. На отрезок наудачу брошено 20 точек. Найти вероятность того, что на левую часть отрезка попадет не менее трех, но не более пяти точек. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Решение.

Будем считать, что точки бросаются на отрезок последовательно, и каждое бросание – отдельное испытание. Обозначим через А событие, что «очередная точка упала в левой части отрезка». По условию Р(А)=1/2. Вопрос задачи можно теперь переформулировать так: проводится 20 независимых испытаний; найти вероятность того, что событие А произойдет в трех, четырех или пяти из них. Если теперь обозначить через B_i событие, что «А произойдет ровно в i испытаниях», то А=B₃+B₄+B₅. Поскольку события B₃, B₄ ,B₅ попарно несовместны, то Р(А)=Р(B₃)+Р(B₄)+Р(B₅). Вероятности Р(B_i) найдем по формуле Бернулли:

.

В итоге имеем ответ: .

Задание 3.

Задача 10. Цена деления шкалы прибора равна 0.4. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка округления, большая 0.05.

Типовые задачи из задания 3 и их решение.

Пример 1. Книга издана тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что книга сброшюрована неправильно, равна 0.0001. Найти вероятность того, что тираж содержит более двух бракованных книг.

Решение. Пусть случайная величина Х выражает число бракованных книг в тираже. Тогда случайная величина Х распределена по биномиальному закону с параметрами n=100000, p=0.0001. Поскольку , то искомая вероятность будет равна .

Эта формула хотя и точная, но трудновычислима. Воспользуемся тем, что поскольку число n велико, а вероятность p мала, случайную величину Х приближенно можно считать распределенной по закону Пуассона с параметром np, т.е. .В нашем случае np=10. Поэтому искомая вероятность будет приближенно равна

Ответ: .

Пример 2. Длительность Т телефонного разговора является случайной величиной, распределенной по показательному закону. Известно, что средняя длительность телефонного разговора равна 3 минутам. Найти вероятность того, что разговор будет длиться более трех минут.

Решение. По условию задачи параметр показательного распределения длительности Т равен . Поэтому искомая вероятность будет равна .

Ответ: .

Задание 4

По заданному закону распределения дискретной случайной величины Х найти:

1) математическое ожидание М(Х);

2) дисперсию D(Х) (2-мя способоми);

3) среднее квадратичное отклонение σ(Х);

4) функцию распределения F(х) и построить её график.

10. Х: 15 19 24 29 30

Р: 0,1 0,2 0,2 0,1 0,4

Типовые задачи из задания 4 и их решение.

Пример 1. По заданному закону распределения дискретной случайной величины Х найти:

математическое ожидание М(Х);

дисперсию D(X) двумя способами;

Среднее квадратическое отклонение

Функцию распределения F(х) и построить ее график.

Х: 8 10 15 16 20

Р: 0,4 0,1 0,2 0,2 0,1

Решение

1) Математическое ожидание считается по формуле: М(Х)= ,

т.е. М(Х)= 8*0,4+10*0,1+15*0,2+16*0,2+20*0,1=12,4

2) Найдем дисперсию СВ Х первым способом , т.е. по формуле: D(X)= =(8-12,4)²0,4+(10-12,4)²0,1+(15-12,4)²0,2+(16-12,4)²0,2+(20-12,4)²0,1=7,744+0,576+1,352+2,592+5,776=18,04

Дисперсию также можно найти по формуле: D(X)= =8²0,4+10²0,1+15²0,2+16²0,2+20²0,1=25,6+10+45+51,2+40-(12,4)²=171,8-153,76=18,04.

3) Среднее квадратическое отклонение = 4,25

Найдем функцию распределения СВ Х. Если х 8, то F(x)=0. Действительно, значений, меньших числа 8, величина Х не принимает. Следовательно, при х 8 функция F(x)=P(X<8)=0. Если 8<x 10, то F(x)=0,4.Действительно Х может принять значение 8 с вероятностью 0,4. Если 10<x 15, то F(x)=0,5. Действительно Х может принять значение 8 с вероятностью 0,4 и значение 10 с вероятностью 0,1; следовательно одно из этих значений, безразлично какое, Х может принять с вероятностью 0,4+0,1=0,5. Аналогично при 15<x 16, F(x)=0,7 и 16<x 20, то F(x)=0,9., то F(x)=1.

Итак, искомая функция распределения имеет вид:

0 , х 8,

0,4, 8<x 10,

F(x)= 0,5, 10<x 15,

0,7, 15<x 16,

0,9, 16<x 20,

1, х>20

Задание 5.

Общая формулировка задач 1-20 в буквенных обозначениях.

Дана плотность распределения случайной величины Х. Требуется найти: неизвестный параметр с; функцию распределения случайной величины Х; вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала ; математическое ожидание случайной величины Х.

Задача 10.

Дано:

Типовые задачи из задания 5 и их решение.

Пример 1. Плотность вероятности случайной величины Х равна . Определить константу с.

Решение. Согласно свойству плотности непрерывной случайной величины, . Но

Следовательно, .

Пример 2. Плотность вероятности случайной величины Х равна

Найти функцию распределения случайной величины Х и вероятность попадания Х в промежуток .

Решение. Поскольку все значения случайной величины Х сосредоточены на промежутке , то при, , верно , а при, , верно , где F(x) – функция распределения случайной величины Х. Пусть . Тогда по определению функции распределения непрерывной случайной величины имеем:

И наконец, .

Пример 3. Вычислить математическое ожидание случайной величины Х, плотность вероятности которой равна

Решение. Используем формулу для вычисления математического ожидания непрерывных случайных величин:

.

Вначале найдем первообразную функции (методом интегрирования по частям):

Итак, .

Можно не прибегать к вычислениям интегралов в тех случаях, когда плотность случайной величины симметрична относительно некоторой оси х=а, так как математическое ожидание такой случайной величины равно а. В нашем случае симметрична относительно , т. е. (что согласуется с вышеприведенными вычислениями).