3.2 Метод Гаусса-Зейделя
Этот метод, так же
как и метод простой итерации, базируется
на использовании уравнений системы,
приведенных к виду (3.2). Однако в отличие
от метода простой итерации для вычисления
-ой
переменной на каждом
-ом
шаге итерационного процесса используются
значения переменных, вычисленные на
предыдущем
-ом
шаге, так и на данном. При этом на
-ом
шаге итерационного процесса система
(3.2) примет вид
(3.6)
Условием сходимости итерационного процесса по методу Гаусса-Зейделя является выражение (3.5).
Пример 3.2. Найти решение системы алгебраических уравнений, рассмотренной в примере 3.1 с помощью метода Гаусса-Зейделя.
Решение. Проверим достаточное условие сходимости (3.5)
условие выполняется,
условие выполняется,
условие выполняется,
условие выполняется.
Приводим систему линейных алгебраических уравнений к виду (3.2)
Задаем начальное
приближение:
Определяем первое приближение:
,
,
,
Дальнейшие расчеты выполняются в соответствии с вышеизложенным алгоритмом. Результаты вычислений представлены в таблице.
Результаты расчета
№ итерации |
|
|
|
|
0 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
1 |
27.115344 |
22.424116 |
46.851929 |
42.360552 |
2 |
24.730290 |
16.023911 |
59.682907 |
45.077610 |
3 |
18.201203 |
14.688184 |
58.735208 |
45.268326 |
4 |
18.080373 |
14.442402 |
58.786626 |
45.239376 |
5 |
17.968024 |
14.416285 |
58.747886 |
45.234934 |
6 |
17.971697 |
14.413132 |
58.748012 |
45.233749 |
7 |
17.970328 |
14.412986 |
58.747268 |
45.233652 |
8 |
17.970526 |
14.412977 |
58.747299 |
45.233635 |
9 |
17.970510 |
14.412980 |
58.747288 |
45.233635 |
10 |
17.970515 |
14.412981 |
58.747290 |
45.233635 |
Таким образом: , , , .
3.3 Метод Ньютона-Рафсона
Итерационный метод Ньютона-Рафсона используется для решения нелинейного уравнения вида
.
В основу этого метода положена линеаризация исходного нелинейного уравнения. В этом случае нелинейную функцию записывают в виде ряда Тейлора (разложение по степеням полинома):
.
В случае линейной постановки задачи при решении методом Ньютона-Рафсона используется следующее выражение:
.
Поскольку решение
находим при
,
то, приняв
,
получим
.
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения , полученные на двух смежных итерациях, не будут отличаться на величину, меньшую заданной погрешности решения , т.е. до выполнения условия
или
.
Для корректного
применения метода необходимо определить
интервал изменения переменной, на
котором уравнение имеет точно один
корень. При выборе начального приближения
должно выполняться следующее условие
.
Следует отметить, что данный метод применим лишь для тех нелинейных функций, которые монотонны, гладки, дифференцируемы, не имеют разрывов 1-го и 2-го рода и однозначно определены.
Пример 3.
Методом Ньютона-Рафсона найти решение
нелинейной функции
:
.
Расчеты выполнить с двойной машинной точность .
Решение. Приравняем функцию к нулю:
.
Вычислим первую
производную
:
.
Определим возможную область существования решения. Для этого необходимо определить интервал, на котором функция меняет свой знак, т.е.:
при
,
,
;
при
,
,
;
при
,
,
.
Выбираем за
начальное приближение
,
так как
.
Определяем первой приближение:
,
.
Определяем второе приближение:
,
.
Дальнейшие расчеты выполняются с вышеизложенным алгоритмом. Результаты вычислений представлены в таблице.
Результаты вычислений
|
|
|
|
|
0 |
2,000000 |
37,000000 |
65,000000 |
0,569231 |
1 |
1,430769 |
10,140369 |
33,773415 |
0,300247 |
2 |
1,130522 |
1,263773 |
26,109534 |
0,048403 |
3 |
1,082119 |
0,020977 |
25,257471 |
0,000831 |
4 |
1,081289 |
0,000006 |
25,243609 |
0,000000 |
5 |
1,081289 |
0,000000 |
25,243605 |
0,000000 |
Окончательно
имеем:
.