III. Методы решения состояния электрической системы
Расчеты установившихся режимов составляют существенную часть общего объема исследований электроэнергетических систем, выполняемых как на стадии проектирования, так и в процессе эксплуатации этих систем. Эти расчеты необходимы при выборе конфигурации схемы электрической системы и параметров ее элементов, анализе устойчивости и оценке токов коротких замыканий, определении наиболее экономичных режимов ее работы.
Исходными данными
о нагрузках реальных электрических
систем при их проектировании и эксплуатации
обычно служат значения потребляемых
ими активных и реактивных мощностей
(
),
которые могут приниматься постоянными
(
),
либо зависящими от напряжения в точке
подключения нагрузки к сети, т.е.
.
Исходными данными об источниках питания,
как правило, служат выдаваемые генераторами
в систему активные мощности (
)
и абсолютные значения напряжений в
точках их подключения:
,
хотя в ряде случаев источники питания
могут быть заданы и постоянными значениями
активных и реактивных мощностей (
,
)
аналогично нагрузкам.
При указанных исходных данных целью расчета установившегося режима электрической системы является определение мощностей и токов в ветвях схемы замещения и комплексных значений напряжений в ее узловых точках. С математической точки зрения задача сводится к решению системы нелинейных уравнений из-за нелинейности зависимости мощности от тока и напряжения.
Конкретный вид этих уравнений определяется формами уравнений состояния, положенных в основу математического описания установившегося режима и обобщенными параметрами системы. Из уравнения состояния наиболее широко применяются узловые уравнения, которые характеризуются как простотой формирования, так и большими возможностями эффективной организации процесса решения.
Методы решения можно разделить на две большие группы: прямые и итерационные. К прямым относятся методы, позволяющие получить решение в результате конечного числа арифметических операций, зависящего только от вычислительной схемы, а также от порядка и структуры матрицы коэффициентов системы уравнений. В математике методы этой группы называются точными, поскольку, если исходные данные заданы точно (в виде целых чисел или обыкновенных дробей) и вычисления выполняются точно (например, по правилам действия над обыкновенными дробями), то решение также получается точным. Практически в основе всех прямых методов решения линейных алгебраических уравнений установившегося режима электрической системы лежит метод последовательного исключения неизвестных, называемый методом Гаусса.
К итерационным относятся методы, с помощью которых решение системы линейных алгебраических уравнений получается как предел последовательных приближений, вычисляемых посредством единообразных операций. В математике итерационные методы называются приближенными, они позволяют получить решение системы уравнений лишь с заданной точностью.
3.1 Метод простой итерации
Исходная система линейных алгебраических уравнений
(3.1)
В предположении,
что
,
,
приводится к виду
(3.2)
Система уравнения (3.2) согласно методу простой итерации решается следующим образом:
1) задаются начальными
(нулевыми) приближениями неизвестных
,
;
2) значения
подставляются в правые части системы
(3.2) и тем самым определяются следующие
приближения неизвестных
,
;
3) подстановкой полученных значений находится следующее приближение и т.д.
Таким образом, на
-ом
шаге итерационного процесса система
(3.2) запишется как
(3.3)
Итерационный
процесс продолжается до тех пор, пока
значения
,
полученные на двух смежных итерациях,
не будут отличаться на величину, меньшую
заданной погрешности решения
,
т.е. до выполнения условия
,
. (3.4)
При выполнении неравенства (3.4) для произвольного начального приближения , итерационный процесс называется сходящимся. В противном случае итерационный процесс не приводит к решению и называется расходящимся.
Условием сходимости итерационного процесса является выражение:
,
,
. (3.5)
В матричном виде систему (3.1) можно представить следующим образом
.
В дальнейшем исходная система (3.1) заменяется системой
и приводится к виду
.
Тогда матрицу неизвестных согласно системе (3.3) можно записать:
.
Пример 3.1.
Методом простой итерации с точностью
определить напряжения в узлах электрической
сети, описываемых следующей системой
уравнений:
Решение. Проверим достаточное условие сходимости (3.5)
условие
выполняется,
условие
выполняется,
условие
выполняется,
условие
выполняется.
Приводим систему линейных алгебраических уравнений к виду (3.2)
Задаем начальное приближение:
.
Определяем первое приближение:
.
Определяем второе приближение:
.
Дальнейшие расчеты выполняются в соответствии с вышеизложенным алгоритмом. Результаты вычислений представлены в таблице.
Результаты расчета
№ итерации |
|
|
|
|
0 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
0.000000 |
1 |
27.115344 |
12.166667 |
41.550218 |
25.724820 |
2 |
20.452435 |
21.067212 |
55.839344 |
38.215894 |
3 |
20.415115 |
16.997163 |
56.563434 |
45.645101 |
4 |
19.755137 |
14.885029 |
59.281450 |
44.882491 |
5 |
17.900517 |
15.273254 |
59.111408 |
45.292926 |
6 |
18.163006 |
14.423980 |
58.640808 |
45.564942 |
7 |
18.060997 |
14.371238 |
58.902613 |
45.179391 |
8 |
17.891799 |
14.486831 |
58.762686 |
45.260422 |
9 |
17.995880 |
14.377573 |
58.723224 |
45.266178 |
10 |
17.970948 |
14.409265 |
58.768850 |
45.214391 |
11 |
17.958636 |
14.422125 |
58.742067 |
45.239364 |
12 |
17.976558 |
14.405994 |
58.744407 |
45.235717 |
13 |
17.969299 |
14.414212 |
58.750543 |
45.230288 |
14 |
17.969311 |
14.414008 |
58.745774 |
45.235095 |
15 |
17.971645 |
14.411862 |
58.747251 |
45.233564 |
16 |
17.970110 |
14.413423 |
58.747737 |
45.233210 |
17 |
17.970454 |
14.413022 |
58.746989 |
45.233931 |
18 |
17.970680 |
14.412824 |
58.747356 |
45.233559 |
19 |
17.970422 |
14.413076 |
58.747334 |
45.233597 |
20 |
17.970528 |
14.412964 |
58.747239 |
45.233683 |
21 |
17.970533 |
14.412964 |
58.747310 |
45.233613 |
22 |
17.970498 |
14.412997 |
58.747291 |
45.233634 |
23 |
17.970520 |
14.412975 |
58.747283 |
45.233641 |
24 |
17.970516 |
14.412980 |
58.747294 |
45.233630 |
Таким образом:
,
,
,
.