4.2. Ізобарна та ізохорна теплоємности. Рівняння Майєра

4.2.1. Зв’язок ізобарної та ізохорної теплоємностей

4.2.1.1. Рівняння Майєра для ідеального ґазу

1. Ізохорна та ізобарна теплоємности

Для ідеального ґазу h=f (T), u=f (T), с=f (x, T, N), де N – атомність газу.

а) із першої форми запису першого начала термодинаміки

δq = du + pdv (4. 25)

для ізохорного процесу (v=const, dv=0) витікає, що

δq_V = du (4.26)

* m – від англ. middle – середній (за місцем), або mean – середній (мат.)

і далі

= с_V = .

Для ідеального ґазу

c_V = . (4.27)

Звідки ізохорна теплоємність c_V характеризує темп зростання внутрішньої енергії при підвищенні температури:

δq_V = с_VdT = du; (4.28)

du = с_VdT; (4.29)

б) із другої форми запису першого начала термодинаміки

δq = dh – vdp (4.30)

для ізобарного процесу р=const (dp=0) витікає, що

δq_P = dh

і далі

= с_Р = . (4.31)

Для ідеального ґазу

c_Р = .

Звідки ізобарна теплоємність с_Р характеризує темп зростання ентальпії при підвищенні температури:

δq_Р = с_РdT = dh; (4.32)

dh = с_PdT; (4.33)

2. Зв’язок між ізобарною та ізохорною теплоємностями

Розглянемо співвідношення (визначення ентальпії) для m=1 кг ґазу:

h = u + pv (4.34)

dh = du + d (pv) (4.35)

Продиференціюємо рівняння (4.35) за температурою:

= + (4.36)

Для ідеального ґазу

=с_р , =с_v , а з рівняння Карно-Клапейрона pv=RT (де R – питома ґазова стала), = R,

тоді (4.36) запишемо у вигляді с _р= с_V + R, або зазвичай

с_р – с_V = R (4.37)

Співвідношення (4.37) називається рівнянням Майєра (1842р.).

За рівнянням (4.37), означенням і фізичним смислом теплоємностей с_р і с_V та фізичним смислом питомої ґазової сталої R можна дати означення фізичного смислу рівняння Майєра для ідеального ґазу та дати відповідь на питання: «Чому с_р > с_V на величину R (або с_μр > с_μV на величину R_μ) для ідеального ґазу?».

Рівняння (4.37) отримано для масових теплоємностей і m=1кг. Для m кг ґазу (4.37) має вигляд:

mс_p – mс_V = mR

C_p – C_V = mR (4.38)

За допомогою аналізу розмірностей можна знайти форму запису рівняння Майєра (4.37):

а) для об’ємних теплоємностей: ρс_р – ρс_v = ρR, тобто

,

тобто с_р′ − с_V ′ = ρR, (4.39)

де с_p^′, с_V^′ – об’ємні ізобарна та ізохорна теплоємности відповідно;

ρ – густина ґазу

б) для мольних теплоємностей:

[Дж/(кг·К)] · [кг/моль] ≡ [Дж/(моль·К)].

Розмірність [кг/моль] відповідає молярній масі , тоді рівняння (4.37) необхідно множити на :

с_р – с_V = R (4.40)

або

с_{ p} – с_{ V} = R_ (4.41)