Раздел 3. Методы синтеза линейных цифровых фильтров в частотной области.

3.1 Синтез дискретного фильтра, эквивалентного аналоговому фильтру с заданной передаточной функцией h(p).

При решении этой задачи нужно сделать 2 ограничения :

1. В качестве аналогового фильтра-прототипа можно выбрать лишь физически реализуемый и устойчивый линейный фильтр. У такого фильтра передаточная функция представляется в виде рациональной дроби

H(p)= ,

где C(p) и Д(p) - полиномы

H(p) = (1)

В теории цепей доказывается, что для физической реализуемости всегда должно выполняться условие m n

Передаточную функцию можно также выразить через нули её и полюсы.

H(p) = , (2)

где - нули передаточной функции;

- полюсы передаточной функции.

Линейный фильтр является устойчивым, если все полюсы передаточной функции находятся в левой полуплоскости комплексной переменной . Если все нули тоже находятся в левой полуплоскости P,то у такого фильтра существует однозначная связь АЧХ и ФЧХ (такие фильтры называют минимально фазовыми).

2. Для реализации дискретного фильтра его системная функция должна выглядеть так :

H(p) =

На первый взгляд задача синтеза решается просто: в функцию H(p) необходимо, используя Z - преобразование, подставить p = ln Z.

Однако для реализации ДФ его системная функция должна быть рациональной функцией.

При нашей подстановке это невозможно. Можно воспользоваться приближенным Z - преобразованием.

Для этого разложим ln Z в ряд и ограничимся лишь первым слагаемым ряда.

Тогда

Такое преобразование называется билинейным. При его использовании системная функция становится рациональной.

Заметим, что ЦФ (ДФ), синтезированный по аналоговому прототипу, не может быть полностью идентичен аналоговому фильтру по своим частотным характеристикам, хотя бы потому у ДФ частотные характеристики являются периодически повторяющимися. Можно говорить лишь об определенном соответствии частотных характеристик ДФ частотным характеристикам АФ. Поясним это на примере АЧХ .

Известно, что для нахождения АЧХ аналогового фильтра (АФ) нужно вычислить значения её передаточной функции H(p) во всех точках мнимой оси на плоскости p. ( )

( ) = H(p)

H( ) = | ( )| - АЧХ АФ.

Воспользуемся билинейным преобразованием и установим, каким значениям Z соответствуют точки, лежащие на мнимой оси в плоскости p.

===> ;

На мнимой оси

= = = =

|Z| = 1 - модуль Z

arg Z = 2arg tg - аргумент Z

Как видим, точкам в плоскости p, соответствующим мнимой оси, соответствуют точки, лежащие на окружности единичного радиуса в плоскости Z. Движению по мнимой оси снизу вверх (от до ) соответствует движение по окружности единичного радиуса в плоскости Z, как показано на рисунке.

Обозначим arg Z =

При этом имеет смысл цифровой частоты, или частоты при цифровой фильтрации. Частота будет иметь смысл аналоговой частоты или частоты при аналоговой фильтрации. Эти частоты связаны между собой соотношениями

; где T - интервал дискретизации.

; Ясно, что

Любому значению частоты соответствует вполне определенное значение частоты , связь между этими частотами однозначная, но нелинейная. Ранее было показано, что частотные характеристики цифровых фильтров являются периодическими функциями, и частоту цифрового фильтра можно задавать лишь в определенных пределах или

Таким образом, АЧХ цифрового фильтра не совпадает с АЧХ аналогового фильтра. Можно лишь считать, что АЧХ цифрового фильтра соответствует АЧХ аналогового фильтра-прототипа.

Обозначим:

АЧХ АФ -

АЧХ ЦФ -

Эквивалентность ЦФ и АФ заключается в том, что на соответствующих частотах и их АЧХ принимают одинаковые значения

При малых частотах (близких к нулю) значения и практически совпадают, т.е. совпадают АЧХ цифрового и аналогового фильтров, т.к.

при << или при << 1

зависимость практически линейная

и

Учитывая, что = - частота дискретизации, можно утверждать, что при << АЧХ АФ и АЧХ ЦФ практически совпадают.

Пример :

АФ

= ;

Эта передаточная функция имеет только один полюс

;

где - постоянная цепи.

Полюс находится в левой полуплоскости р, следовательно цепь устойчивая.

Используя билинейное преобразование :

,

найдем системную функцию ЦФ :

При Т <<

;

Этой функции соответствует рекурсивный фильтр, схема которого имеет вид :

Здесь :