1.2. Алгоритм работы дискретного фильтра, эквивалентного аналоговому фильтру с заданной импульсной характеристикой. Нерекурсивный дискретный фильтр.
Пусть задан аналоговый линейный фильтр, обладающий импульсной характеристикой g(t):
Рис. 5.
Алгоритм работы такого фильтра может быть представлен в виде интеграла свертки:
Для построения эквивалентного ему дискретного фильтра необходимо представить воздействие s1(t) и импульсную характеристику g(t) в дискретной форме, воспользовавшись разложением в ряд Котельникова В.А. Интервал дискретизации Т соответствует требованиям теоремы Котельникова В.А.
где в качестве ωв следует выбрать наибольшую из граничных частот в спектрах воздействия s1(t) и импульсной характеристики g(t). Тогда:
Подставим (5) и (6) в выражение (4) и вычислим значение отклика s2(t) в момент времени t=nT
В полученном сложном выражении под интегралом оказываются слагаемые вида:
которые содержат произведения ортогональных функций отсчетов. Так как интеграл от произведения «разноименных» ортогональных функций всегда равен нулю, то в выражении для s2(nТ) следует оставить лишь слагаемые, содержащие одноименные ортогональные функции. В нашем случае это соответствует условию: n-i=m или i=n-m.
Тогда:
В
полученном выражении постоянный
множитель
не играет принципиальной роли при
рассмотрении алгоритма вычисления
отсчета отклика s2(nТ)
и
в дальнейшем может быть отброшен.
Следовательно, алгоритм работы дискретного фильтра, эквивалентного аналоговому фильтру с заданной импульсной характеристикой g(t), может быть представлен в виде:
Где |
|
- отсчеты импульсной характеристики аналогового фильтра |
Рис. 6.
Заметим,
что для реальных фильтров протяженность
функции g(t)
является конечной, поэтому число отсчетов
импульсной характеристики N
будет также конечным (
).
Следовательно, выражение (7) можно переписать в виде:
Последнее выражение представляет собой дискретный эквивалент свертки воздействия s1(t) и импульсной характеристики g(t). Как видно из выражения (8), в формировании каждого очередного отсчета отклика s2(nТ) принимают участие очередной (текущий) отсчет воздействия s1(nТ) и N его предыдущих отсчетов: s1[(n-1)T ], s1[(n-2)T ], … , s1[(n-N)T ].
Следовательно, дискретный фильтр, алгоритм которого мы получили, должен обладать памятью, в которой хранится N предыдущих отсчетов воздействия, а также содержатся (N+1) значений отсчетов импульсной характеристики аналогового фильтра {am}.
Структурная схема дискретного фильтра, реализующего алгоритм работы (8), может быть представлена в виде:
Рис. 7.
На этой схеме применены следующие обозначения:
|
- идеальный элемент задержки на время Т - идеальный весовой умножитель с коэффициентом умножения am - идеальный сумматор |
В принципе, структурную схему такого дискретного фильтра, названную нерекурсивным (трансверсальным), можно изобразить и по-другому:
Рис. 8.
Здесь использовано обозначение:
|
- идеальный элемент задержки на время mТ |
