1.12. Дискретное преобразование Фурье (дпф)
Зная теоремы отсчетов в частотной и временной областях, можно ввести понятие дискретного преобразования Фурье, связывающего дискретные отсчеты сигнала s(t) и его спектральной характеристики S(ω).
Пусть дискретный сигнал sТ(t) получен путем временной дискретизации аналогового сигнала s(t), спектр которого ограничен частотой ωс=2πfв
где |
|
|
Если сигнал s(t) к тому же ограничен по длительности величиной Тс, то тогда число слагаемых ряда (23) равно N=2fвTс+1.
Спектральная характеристика дискретного сигнала
Воспользуемся теоремой отсчетов в частотной области и найдем отсчеты спектральной характеристики (24)
где |
|
Тогда выражение (25) примет вид:
Учитывая, что спектральная характеристика SТ(ω) – периодическая функция с периодом ωв=2π/ T можно записать:
SТ(-k.ΔΩ) = SТ[(N-k).ΔΩ)]
И оставить только положительные значения k:
k = 0, 1, 2, 3, …, 2fвTc = N - 1
Тогда окончательное выражение для SТ(k.ΔΩ) = S(k) примет вид:
Это есть прямое ДПФ.
Аналогично можно получить и обратное ДПФ:
Заметим, что полученные отсчеты s(n) отличаются от принятых ранее отсчетов s(nТ), тем, что они периодически повторяются на бесконечном интервале времени с периодом N. На рисунке 20 показаны отсчеты s(nТ) и s(n), а также модуль спектральной характеристики дискретного сигнала SТ(ω) и модули спектральных коэффициентов IS(k)I = S(k).
Рис.20
Таким образом, ДПФ устанавливает связь между дискретными отсчетами сигнала во временной и частотной областях {S(n)} и {S(k)}, что удобно при проведении расчетов на ЭВМ.
1.13. Некоторые свойства дпф.
1) Число отсчетов N сигнала в частотной и временной области одинаково
2) Спектральный коэффициент
3) Если N-четное число и {s(nT)} – вещественные отсчеты, то
где * - знак комплексного сопряжения,
=
0, 1, 2, 3, … , N/2
При = 0 |
|
- вещественный отсчет |
Примеры вычисления ДПФ
1.14. Спектральный метод анализа прохождения сигнала через дискретный фильтр.
Этот метод основан на свойстве ДПФ, называемом теоремой свертки: если сигнал s2T(t) представляет собой свертку дискретного сигнала s1T(t) и импульсной характеристики gT(t) дискретного фильтра, то дискретное преобразование Фурье для этой свертки {S2(k)} находится из соотношения
S2(k) = S1(k).H(k),
Где
{H(k)} – дискретное преобразование Фурье от импульсной характеристики ДФ,
{H(k)} – отсчеты комплексного коэффициента передачи ДФ
Порядок вычисления отклика ДФ на сигнал, заданный N своими дискретными отсчетами {S1(nT)} (n=0, 1, 2, 3, … , N -1), таков:
1) Для заданной последовательности {S1(nT)} вычисляются N спектральных коэффициентов S1(k) (k=0, 1, 2, 3, … , N -1)
2) Если задана последовательность отсчетов импульсной характеристики ДФ {g(nТ)}, то для нее находятся спектральные коэффициенты {H(k)}.
Если задан комплексный коэффициент передачи дискретного фильтра НТ(ω), то {H(k)} – его дискретные отсчеты.
3) Вычисляются произведения соответствующих спектральных коэффициентов
S1(k).H(k) = S2(k)
Где {S2(k)} – спектральные коэффициенты отклика ДФ.
4) По спектральным коэффициентам {S2(k)} находится обратное ДПФ
5) При необходимости по отсчетам {s2(nT)} находится дискретный сигнал
Заметим, что при вычислении спектральным методом число отсчетов N берется равным сумме необходимого числа отсчетов воздействия Ns1 и необходимого числа отсчетов импульсной характеристики Ng, то есть
N= Ns1+ Ng
Тогда недостающие отсчеты воздействия и импульсной характеристики считаются нулевыми.
Нетрудно показать, что для нахождения отклика ДФ спектральным методом
Требуется такое же число арифметических операций, что и при временном методе, то есть примерно N2. Так что вычислительные трудности при вычислении отклика фильтра в реальном масштабе времени при большом N остаются.
Выход из этой ситуации заключается в переходе от ДПФ к так называемому быстрому преобразованию Фурье (БПФ).