1.9 Особенности построения цифровых фильтров.

До сих пор мы рассматривали только дискретные фильтры.

Так как цифровой фильтр отличается от дискретного лишь способом представления отсчетов (в аналоговой или цифровой форме), то полученные нами структурные схемы ДФ могут быть использованы и для цифровых фильтров, однако они являются условными, так как характеризуют лишь алгоритм их работы.

Реализация же цифровых фильтров может быть осуществлена двумя способами:

1 – Программный способ, когда алгоритм фильтрации реализуется в виде программы цифровой ЭВМ. Этот способ удобен при математическом моделировании фильтра на этапе научных исследований или проектирования. При технической реализации конкретного фильтра, работающего в реальном времени, получается либо очень дорого, либо не хватает быстродействия.

2 – Схемный способ, когда цифровой фильтр реализуется в виде спецвычислителя или процессора. При этом предполагается использование стандартных элементов цифровой техники, обладающих высокой надежностью, быстродействием, малыми габаритами и весом.

1.10. Сравнительная оценка цифровых и аналоговых фильтров.

Цифровые фильтры имеют ряд преимуществ перед аналоговыми:

1) Они не имеют реактивных элементов, поэтому нет проблем с точностью их изготовления и стабильностью.

2) Характеристики ЦФ прогнозируются и реализуются с высокой точностью, так как зависят в основном от стабильности тактовой частоты, вырабатываемой высокостабильным (чаще всего кварцевым) генератором. Отсюда возможность получения высокой добротности и чрезвычайно большой постоянной времени. Это важно особенно на сверхнизких частотах, где реализовать аналоговый фильтр обычно невозможно.

3) Характеристики ЦФ легко изменяются в широких пределах путем изменения тактовой частоты.

4) В ЦФ возможно получение линейной ФЧХ.

5) Нет проблемы согласования нагрузки.

6) Отсутствует дрейф «нуля», присущий аналоговым фильтрам.

7) ЦФ реализуется на стандартных элементах цифровой техники, причем несколько фильтров могут обслуживаться одним управляющим устройством и одним арифметическим блоком. Отсюда высокая надежность, стабильность, малые габариты и вес. Единственный недостаток - ограничение быстродействия. Главная проблема – быстродействие!

В то же время цифровым фильтрам присущи специфические ошибки (погрешности), связанные с конечной разрядностью представления (квантованием) отсчетов сигнала S(nT), коэффициентов фильтра a_k и b_k, а также результатов промежуточных вычислений. Подробнее об этом в следующем разделе.

1.11. Постановка задачи анализа прохождения сигнала через дф спектральным методом. Теорема отсчетов в частотной области.

Как было показано выше, применение временного метода анализа прохождения сигнала через ДФ связано с большими вычислительными трудностями (при большом числе отсчетов N число необходимых для нахождения отклика арифметических операций имеет порядок N²).

Чтобы исследовать возможности применения спектрального метода анализа, необходимо прежде всего обеспечить дискретное представление спектральных характеристик сигнала и частотных характеристик дискретного фильтра: S_T(ω) и Н _T(ω). Но для этого потребуется теорема отсчетов в частотной области.

Поскольку основные соотношения, характеризующие преобразование Фурье дуальны, то есть позволяют заменять в них t на ω, и наоборот, ω на t, то по аналогии с теоремой отсчетов во временной области можно сформулировать теорему отсчетов в частотной области следующим образом:

1) Спектральная характеристика S(ω) аналогового сигнала s(t), ограниченного по длительности, при l t l>T_c/2, полностью определяется своими отсчетами {S(k^.ΔΩ)}, взятыми через интервал (21)

2) Значения спектральной характеристики S(ω) при любых значениях частоты ω могут быть найдены в виде суммы ряда

Если допустить, что исходный аналоговый сигнал s(t) имеет ограниченный спектр (граничная частота ω_с=2πfв), то число слагаемых ряда (21) будет конечным, то есть максимальное значение |k_max|= ω_в /ΔΩ=fвT_с и k=0, 1, 2, 3,…, fвT_с

Из свойств преобразования Фурье известно, что значения спектральной характеристики при отрицательных аргументах комплексно сопряжены с соответствующими значениями спектральной характеристики с положительным аргументом

S(-k^.ΔΩ)= S*(k^.ΔΩ)

Поэтому общее число независимых спектральных коэффициентов S(k^.ΔΩ), необходимых для восстановления S(ω), равно fвT_с+1. Так каждый из этих комплексных коэффициентов (кроме нулевого) имеет модуль и аргумент [S(0) = S(0)], то общее число независимых параметров: отсчетов модуля и отсчетов аргумента спектральных коэффициентов, полностью определяющих функцию S(ω),

N=2fвT_с+1 (23)

Как видим, это число совпадает с необходимым числом отсчетов при временной дискретизации.