1.5. Математико-статистические методы изучения связей
В анализе хозяйственной деятельности предприятия стохастические модели позволяют:
оценить влияние факторов, по которым нельзя построить детерминированную модель;
изучить и сравнить влияние факторов, которые невозможно включить в детерминированную модель;
выделить и оценить влияние сложных факторов, которые не могут быть выражены одним определенным количественным показателем.
Стохастическое моделирование предназначено для решения трех основных задач:
установление наличия статически значимой связи между изучаемыми признаками;
прогнозирование неизвестных значений результативных показателей по заданным значениям факторных признаков;
выявление причинных связей между изучаемыми показателями, измерение их тесноты и сравнительный анализ степени влияния.
Корреляционный анализ – это метод установления связи и измерения ее тесноты между наблюдениями.
Корреляционной связью называется такая статистическая связь, при которой различным значениям одной переменной соответствуют разные средние значения другой переменной. Важнейшая корреляционная связь – это причинная зависимость вариации результативного признака от изменения факторного.
Значение коэффициента корреляции изменяется в интервале [-1; +1]. Значение r = -1 свидетельствует о наличии жестко детерминированной обратно пропорциональной связи между факторами. Например, детерминированная связь между себестоимостью и прибылью. r = +1 соответствует жестко детерминированной связи с прямо пропорциональной зависимостью факторов. Например, детерминированная связь между ценой на продукцию и прибылью. Если линейной связи между факторами не наблюдается, тогда r = 0. Таким образом, чем ближе |r| к единице, тем связь теснее.
Практическая реализация корреляционного анализа включает следующие этапы:
а) постановка задачи и выбор признаков;
б) сбор статистической информации и ее первичная обработка;
в) предварительная характеристика взаимосвязей;
г) устранение взаимозависимости и уточнение набора показателей путем расчета парных коэффициентов корреляции;
д) исследование факторной зависимости и проверка ее значимости;
е) оценка результатов анализа и подготовка рекомендаций по их практическому использованию.
Регрессионный анализ предназначен для выбора формы связи, типа модели, для определения значений зависимой переменной.
Методы корреляционного и регрессионного анализа используются в комплексе.
Для определения зависимости между двумя или более переменными используются методы регрессии, когда зависимость между результативной переменной (Y) и факторной переменной (Х) может быть представлена в математическом виде, например для линейной зависимости таким алгоритмом:
y = a +bx. (1.1)
Это уравнение линии регрессии – прямолинейное уравнение, отражающее взаимосвязь y и х, позволяющее рассчитать ожидаемое значение y при заданном значении х. Обычно такие расчеты используются при прогнозировании.
В данном уравнении прямой а и b являются параметрами регрессии, которые надо определить. Коэффициент а выступает как константа – постоянная величина результативного показателя, не зависящая от изменения фактора. Параметр b отражает среднее изменение результативного показателя в связи с изменением величины фактора.
Для определения параметров регрессии a и b используют систему уравнений, полученных по способу наименьших квадратов:
(1.2)
Где n – количество наблюдений.
Зависимость между изучаемыми явлениями может быть не только прямолинейной. При увеличении одного показателя значения другого могут снижаться после определенного роста и уровня. Например, между производительностью труда и квалификацией работников, себестоимостью и объемом выпуска продукции.
В таких случаях между результативными и факторными переменными имеется криволинейная зависимость.
Для математического отражения криволинейной зависимости используется уравнение гиперболы:
(1.3)
Параметры a и b определяются с помощью следующей системы уравнений:
(1.4)
Качество корреляционно регрессионного анализа обеспечивается выполнением следующих условий: однородность исследуемой информации, значимость коэффициента корреляции, надежность уравнения связи (регрессии).
Однородность исследуемой информации оценивается в зависимости от относительного ее распределения около среднего уровня. Критериями служат среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации, определяемые по каждому факторному и результативному показателю.
Среднеквадратическое отклонение (σ) характеризует абсолютное отклонение индивидуальных значений от средней арифметической и рассчитывается по алгоритму:
(1.5)
Относительную меру отклонений от средней арифметической, или коэффициент вариации (v), определяют по формуле
(1.6)
Незначительной признается вариация, не превышающая 10%. Нетипичные наблюдения надо исключить из расчетов, если коэффициент вариации превышает 33%.
Управленческие решения часто связаны с необходимостью четко определить проблемную, но наиболее перспективную зону бизнеса. Для этого важно знать сравнительную силу влияния отдельных факторов, например, при использовании многофакторных регрессионных моделей, чтобы правильно оценить степень воздействия того или иного факторного признака на результативный. Для этого используются коэффициенты эластичности и бэтта-коэффициенты.
Частные коэффициенты эластичности показывают, какого роста результативного признака в процентах можно ожидать с возрастанием факторного признака на один процент. Эi рассчитанной по формуле
(1.7)
Однако надо отметить, что коэффициент регрессии не отражает того, какой из факторов сильнее влияет на результативный признак, поскольку коэффициенты измерены в разных единицах, не учтена вариация факторных признаков, т.е. они несопоставимы.
Сопоставимыми переменные в уравнении регрессии будут в том случае, если их выразить в долях среднеквадратического отклонения (σ), т.е. рассчитать бэтта-коэффициенты (βi):
(1.8)
где σxi – среднеквадратическое отклонение i – го фактора;
σi – среднеквадратическое отклонение результативного показателя.
Чем выше бэтта коэффициент, тем сильнее воздействие анализируемого фактора на результативный признак, поскольку бэтта коэффициент отражает, на какую часть своего среднеквадратического отклонения изменится результативный показатель с изменением факторного признака на величину одного его квадратического отклонения.