Прогноз на основании линейной модели

Целью регрессионного анализа является получение прогноза с доверительным интервалом. Прогноз делается по уравнению регрессии

(1)

Точка прогноза из p-мерного пространства с координатами выбирается из области прогноза.

Т.е. область прогноза определяется системой неравенств:

Чтобы получить формулу для вычисления полуширины  доверительного интервала, нужно перейти к матричной форме записи уравнения регрессии.

Матричная запись многофакторной регрессии

Данные для построения уравнения регрессии, сведем в таблицу:

Таблица 1

№ набл	Y	X1	X2	…	Xp
1	y1	x11	X12		x1p
2	y2	x21	X22		x2p
			…
n	yn	xn1	Xn2		xnp

(1)

Подставляя в уравнение (1) значения из каждой строки таблицы, получим n уравнений.

(2)

e_i – случайные отклонения (остатки), наличие которых объясняется тем, что выборочные точки не ложатся в точности на плоскость (1), а случайным образом разбросаны вокруг нее.

Чтобы записать систему (2) в матричном виде, вводим матрицу X, составленную из множителей при коэффициентах b₁, b₂, …, b_p.

Матрица . Размерность матрицы np+1.

Еще вводятся матрицы:

Вектор столбец , , , размерностью n1.

Тогда в матричной форме уравнение регрессии записывается так: .

Полуширина доверительного интервала рассчитывается по формуле:

,

где - среднее квадратическое отклонение остатков;

- критическая точка распределения Стьюдента, соответствующая уровню доверия  и степени свободы k=n-p-1.

вектор точка из области прогноза.

Нелинейная модель

Многие экономические процессы не могут быть адекватно описаны линейной зависимостью вида: y=b₀+b₁x.

Примером таких экономических процессов: жизненный цикл товаров, процесс накопления капитала, маркетинговые усилия фирм и др.

Наиболее часто используются 5 видов нелинейной зависимости, которые предпочтительней перед другими зависимостями тем, что их удается линеаризовать.

1. Степенная y=Ax^b

Обозначим V= Lny; u=Lnx; b₀ =LnA и b₁ =b.

Получили V= b₀ + b₁ u.

Обратное преобразование: V= Lnyy=e^v

A=e^b0, b=b₁.

2. Экспоненциальная =Aе^bх

Обозначим V= Lny; u=x; b₀ =LnA и b₁ =b .

Получили V= b₀ + b₁ u.

Обратное преобразование: V= Lnyy=e^v

A=e^b0, b=b₁.

3. Логарифмическая зависимость y=A+Blnx.

Обычно используется, если значения фактора в несколько раз больше значений показателя.

Сделаем замену: V= y; u=Lnx; b₀ =A и b₁ =B. Получили V= b₀ + b₁ u.

Обратное преобразование: V= yy=v

A=b₀, b=b₁.

4. Гиперблическая зависимость

Сделаем замену: V= y; u= ; b₀ =A и b₁ =B. Получили V= b₀ + b₁ u.

Обратное преобразование: V= yy=v

A=b₀, b=b₁.

5. Степенная

Сделаем замену: V= y; u= ; b₀ =A и b₁ =B. Получили V= b₀ + b₁ u.

Обратное преобразование: V= yy=v

A=b₀, b=b₁.

Алгоритм решения нелинейных экономических задач

1. Имеется выборка, относительно которой есть экономические соображения о виде зависимости между x и y вида y=f(x) (1).

X	x1	x2	…	xn
Y	y1	y2	…	yn

2. Если зависимость известна, то по соответствующей замене пересчитываем значения выборки, и получаем новую выборку, дающую линейную зависимость v=b₀+b₁u (1а).

U	u1	u2	…	un
V	V1	v2	…	vn

По новым данным определяем линейную модель

3. Найденную модель нужно проверить на адекватность. Проверяем на адекватность линеаризованную модель (1а). Если она адекватна, то и исходная нелинейная модель адекватна. Если линеаризованная модель неадекватна, то исходная модель выбрана неверно, и нужно подобрать другую нелинейную модель (например, вместо степенной попробовать экспоненциальную).

4. Если линеаризованная модель (1а) адекватна, то в тех точках, в которых мы хотим посчитать прогноз, рассчитать полуширину доверительного интервала _u для линеаризованной модели.

5. Пересчитываем прогноз и доверительный интервал для точки прогноза из линеаризованного вида в исходный нелинейный. Для этого находим границы доверительного интервала для линеаризованной модели (Vmin, Vmax) и для них, а так же для значений с помощью обратного преобразования находим Ymin, Ymax и .

Если для линейной модели доверительная область симметрична относительно линии регрессии, то для нелинейной регрессии доверительный интервал может быть несимметричен относительно линии регрессии.