Прогноз на основании линейной регрессии Понятие о доверительном интервале

Доверительный интервал – это интервал, в который с заданной вероятностью попадет истинное значение неизвестного параметра.

Коэффициент доверия  – это вероятность, с которой доверительный интервал накроет неизвестный параметр.

Алгоритм нахождения полуширины доверительного интервала.

На основании выборки

x1	x2	…	xn
y1	y2	…	yn

Получают уравнение регрессии .

Доверительный интервал, в которое попадает неизвестное с некоторым коэффициентом доверия , как правило, в большинстве практических случаев оказывается симметричным относительно . Поэтому, чтобы определить доверительный интервал, достаточно найти его полуширину .

При нахождении  используется специально сконструированная случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с k=n-2 – числом степеней свободы .

Полуширина доверительного интервала в точке x_пр вычисляется по формуле:

_е – средне квадратичное отклонение выборочных точек от линии регрессии

t_y –критическая точка распределения Стьюдента, которая находится из таблиц для заданной надежности  (выбираем вероятность 1-) и k₂.

n – объем выборки

или

x_пр – точка из области прогнозов.

Область прогнозов находится так: среди выборочных х находят x_min и x_max. Отрезок прямой, заключенный между ними называется областью прогнозов.

Прогнозируемый доверительный интервал для любого х такой

Совокупность доверительных интервалов для всех х из области прогнозов образует доверительную область, которя представляет область заключения между двумя гиперболами. Наиболее узкое место в точке .

Прогноз для произвольного х дает интервал, в который с вероятностью  попадает неизвестное . Т.е. прогноз при заданном х составит от до с гарантией .

Многофакторная регрессия

Реальные экономические процессы, как правило, завися не от одного, а о нескольких факторов. y=f(x₁, x₂, ,…, x_p). (1)

Из опыта эконометрических исследований, можно привести класс функций, которые могут описывать взаимосвязь:

1. Линейная функция ;

2. Степенная функция или ;

3. Гипербола ;

4. Квадратическая функция .

Во всех моделях Y – зависимая переменная, показатель, x_i – независимые переменные, факторы, b_i – параметры модели.

Линейные функции наиболее распространены и нелинейные функции тоже сводятся к линейным, поэтому рассмотрим линейную модель.

Собираются статистические данные. Выборочные сведения оформляются в виде таблицы 1.

Таблица 1

№ набл	Y	X1	X2	…	Xp
1	y1	x11	X12		x1p
2	y2	x21	X22		x2p
			…
n	yn	xn1	Xn2		xnp

Анализ факторов на мультиколлинеарность

Одним из условий применения МНК является то, что факторы должны быть независимыми между собой. Однако очевидно, что в экономике очень трудно выделить такой массив факторов, которые были бы совсем независимы между собой. Поэтому каждый раз необходимо выяснять, не влияет ли зависимость факторов на оценку параметров модели.

Факторы X₁, X₂, …, X_p интерпретируются как векторы размерности n:

.

Два вектора коллинеарные, если их координаты пропорциональны:

(2)

Если выполняется условие (2) коллинеарности двух векторов, то коэффициент корреляции между факторами X₁ и X₂=1: . На практике считается, что если , то факторы коллинеарны.

Мультиколлинеарностью называется линейная зависимость между факторами X₁, X₂, …, X_p.

Вектор является линейно зависимым, если его можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов:

, причем есть хотя бы один множитель _i0.