Последствия мультиколлинеарности

Если в условии задачи присутствует совершенная мультиколлинеарность, т.е. формула (3) выполняется точно, то при определении коэффициентов уравнения линейной регрессии (4) по МНК возникает неопределенность типа , т.е. коэффициенты определить невозможно – задача не имеет решения.

Если мультиколлинеарность не совершенная, т.е. , то неопределенность не возникает. Коэффициенты по МНК определяются правильно, но средние квадратические погрешности очень велики. Как следствие: доверительные интервалы очень широкие и прогнозы могут терять практическую ценность.

Наиболее простой способ устранения мультиколлинеарности в эконометрической модели можно исключив один из факторов. Однако, если вслепую устранять мультиколлинеарность по предложенному алгоритму, не задумываясь над экономическим смыслом задачи, можно выхолостить модель настолько, что она потеряет ценность.

Пример.

Пусть y – потребление, x1 – богатство, x2 – доход. Эти сведения собираются случайным образом с большого количества семей. Понятно, что потребление зависит как от богатства, так и от дохода, т.е. , где е – случайное малое слагаемое. Понятно, что доход, как правило, пропорционален богатству - почти коллинеарен . Если же исключить один из факторов, то модель потеряет экономический смысл.

Можно преобразовать данные:

1. - отклонение от среднего.

2. Вместо абсолютных значений взять относительные.

3. Нормализовать фактор

4. заменить одну переменную на другую.

Если ни один из способов не дает возможности устранить мультиколлинеарность, то вместо МНК параметры оцениваются другим методом.

Нахождение регрессионной модели

Линейная многофакторная модель имеет вид: .

Параметры линейной многофакторной модели определяются по МНК. Только получаем систему p уравнений. Эту систему решают специальными методами матричной алгебры. Рассматривать эти методы не будем, т.к. неизвестные коэффициенты определим с помощью компьютера.

На этом этапе анализа появляются следующие сведения:

1. Коэффициент множественной корреляции:

2. Коэффициент детерминации R².

3. Также считается уточненный коэффициент детерминации (adjusted R²) с учетом степеней свободы .

3. Наблюдаемое значение и степени свободы критерия Фишера. Для многофакторной регрессии гипотеза следующая: все коэффициенты b_i=0, кроме b₀.

Критерий Фишера в случае многофакторной регрессии имеет тот же смысл, что и в случае однофакторной регрессии, т.е. отношение двух дисперсий, однако число степеней свободы меняется: . Здесь – p – количество факторов в модели, n – объем выборки.

4. Проверка значимости коэффициентов b_i.

Получили модель: .

Коэффициенты b_i - случайные величины. Их математические ожидания при выполнении некоторых условий равны соответственно точным значениям _i. При этом, оценки тем надежнее, чем меньше их разброс вокруг точных значений, т.е. дисперсия. Можно доказать, что: , , где - дисперсия остатков.

Формально, значимость коэффициента b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента: . Если , то коэффициент статистически не значим, т.е. данный фактор слабо влияет на показатель.