3.2. Математика
Частные виды общего уравнения прямой на плоскости.
Определение угла между двумя прямыми.
Определение матрицы. Виды матриц.
Операции над матрицами.
Алгоритм построения обратной матрицы.
Правила вычисления определителей.
Свойства определителей.
Понятие системы линейных уравнений.
Метод Крамера.
Метод Гаусса.
Матричный метод решения систем линейных уравнений.
Определение предела функции.
Понятие одностороннего предела.
Понятие предела на бесконечности.
Теоремы о пределах.
Определение непрерывности функции в точке.
Классификация точек разрыва.
Определение производной функции, ее геометрический смысл.
Правила дифференцирования функций.
Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции одной переменной.
Необходимые и достаточные условия точек перегиба графика функции одной переменной.
Условия существования вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот.
Алгоритм исследования функции с использованием производной.
Понятие неопределенного интеграла.
Метод интегрирования по частям.
Метод замены переменной.
Свойства неопределенного интеграла.
Понятие определенного интеграла и его геометрический смысл.
Вычисление площадей плоских фигур.
Свойства определенного интеграла.
Формула Ньютона – Лейбница.
Контрольная работа 2
Элементы математического анализа. Часть 1
1. Вычислить предел функции:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Пример. Вычислить предел функции:
.
Решение.
Формальная подстановка значения
в заданную дробно-рациональную функцию
приводит к неопределенности
вида
.
Таким образом, необходимы предварительные
преобразования этой функции до
перехода к
пределу
.
Воспользуемся
теоремой
разложения (см.
курс высшей алгебры)
,
где
корни
квадратного уравнения
:
Тогда, раскладывая числитель и знаменатель
заданной функции на линейные множители
и сокращая множители, ответственные за
появление неопределенности, получаем:
2. Вычислить производную функции:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Пример. Вычислить производную функции:
,
.
Решение.
В силу теоремы
о производной
суммы
функций
в обозначениях Ньютона имеем:
.
В
силу теоремы о производной произведения
функций
для второго слагаемого имеем:
.
Наконец,
учитывая результаты
(n
- любое
вещественное число),
и
из Таблицы
производных
элементарных функций, окончательно
получаем:
,
.
3. Вычислить неопределенный интеграл:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Пример. Вычислить неопределенный интеграл:
.
Решение. Перед нами интеграл от дробно-рациональной функции. Для его вычисления необходимо предварительно эту дробь разложить в сумму простейших рациональных дробей (метод неопределенных коэффициентов):
,
откуда
следует, что
или
Возвращаясь к интегралу и используя свойство его аддитивности по интегрируемым функциям, получаем:
.
Производя
во втором интеграле замену переменной
интегрирования
и учитывая, что
,
имеем окончательно:
,
где С – неопределенная константа интегрирования.
Проверка:
.
4. Вычислить определенный интеграл:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Пример. Вычислить определенный интеграл:
.
Решение.
Произведем замену переменной
интегрирования
.
Как результат, изменим пределы
интегрирования
на
.
Тогда,
учитывая, что
,
согласно формуле
(теореме) Ньютона-Лейбница
получаем:
.
Проверка (первообразной до применения формулы Ньютона-Лейбница):
.
Контрольная работа 3