Средние величины

Факторы надежности средних величин, делающие их действительно типическими характеристиками:

- чем больше единиц совокупности, по которым рассчитывается среднее, тем оно устойчивее и тем больше обеспечивается взаимопогашение случайных индивидуальных особенностей;

- чем более однородны единицы совокупности, тем надежнее, устойчивее среднее, тем более оно типично.

Чтобы понять сущность средней величины ее нужно рассматривать во взаимосвязи, в сравнении с другими средними величинами. Например, средний возраст, среднее образование и средний стаж работы – все эти характеристики взаимосвязаны.

Среднюю величину часто называют показателем центральной тенденции.

Виды и форма средних

Средние бывают двух видов:

- простые

- взвешенные

Пример: Заработная плата за январь у рабочих одного цеха составляет 16500 руб., 14955 руб., 15323 руб.

f_i – весовые коэффициенты (веса).

Пример: По каждому из трех рабочих известно следующее:

Рабочий	Число деталей/рабоч.час.	Число часов, отработан. за мес.
1 2 3	15 11 14	140 105 120

Тогда среднее число деталей в час:

Неверный способ:

Степенные средние

К ним относятся все средние, используемые в статистических расчетах. Формула степенной средней:

Вид средней зависит от показателя средней k:

k = 1: - средняя арифметическая

k = 2: - средняя квадратическая

k = 3: - средняя кубическая

k = 0: - средняя геометрическая (k=0)

k = -1: - средняя гармоническая

Свойство мажорантности средней:

Пример:

x_i = 1, 2, 3

Свойства средней арифметической.

1).

2). - сумма квадратов отклонений от средней арифметической меньше суммы квадратов отклонений от произвольного числа А.

3).

4). - если каждую варианту умножить или разделить на число А, то среднее увеличится в А раз.

5).

6).

То есть, если каждый весовой коэффициент в формуле средней арифметической взвешенной умножить (разделить) на некоторое число, то средняя при этом не изменится.

Пример: Рассчитать среднюю выработку одного рабочего по следующим данным:

Рабочий	Произведено за неделю	Часовая выработка
1	200	10
2	240	12
3	390	13

Неверный способ: (200+240+390)/3

Средняя величина является реальной величиной, поскольку она рассчитывается на основе фактически существующих данных, но вместе с тем она является абстрактной величиной, поскольку получена в результате расчетов.

Изучение вариации.

Вариация – различие значений признака у отдельных единиц изучаемой совокупности в один и тот же период или момент времени.

Статистический анализ вариации предполагает выполнение следующих основных этапов:

1. Построение вариационного ряда.

2. Графическое изображение вариационного ряда.

3. Расчет показателей центра распределения и структурных характеристик вариационного ряда.

4. Расчет показателей размера и интенсивности вариации.

5. Оценка вариационного ряда на асимметрию и эксцесс.

Построение вариационного ряда - это упорядоченное распределение единиц совокупности по возрастающим или убывающим значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным его значением.

Варианты – это значения, которые принимает исследуемый признак.

Частоты – это абсолютная численность отдельных групп с различными значениями признака.

Частости (относительные частоты) – это удельные веса (доли) отдельных групп в общей численности совокупности.

; ;

Пример: Имеются данные о проценте выполнения сменных заданий для сотрудников фирмы. Упорядочив их по возрастанию, получим вариационный ряд.

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Фамилия	О	К	С	А	Е	Р	В	Ж	Г	Б	З	Л	М	Т
%, (xi)	105	108	115	115	115	119	121	125	127	128	128	129	131	132

15	16	17	18	19	20
Ю	Я	Н	Э	М	Д
134	135	140	140	143	145

Объединив одинаковые значения X_i , получим таблицу, называемую рядом частот.

xi	105	108	115	119	121	125	127	128	129	131	132	134	135	140	143	145
ni	1	1	3	1	1	1	1	2	1	1	1	1	1	2	1	1

В вариационном ряду x_i получены по сильной шкале. Можно перейти в порядковую шкалу, сопоставив каждому значению ранг. Ранг равен порядковому номеру i значения x_i в упорядоченной выборке, если частота n_i данного значения равна 1. Если же частота значения n_i >1, то ранг значения x_i равен среднему арифметическому порядковых номеров этого значения в упорядоченной выборке.

xi	i	ранг
105 108 115 119 121 125 127 128 129 131 132 134 135 140 143 145	1 2 3,4,5 6 7 8 9 10,11 12 13 14 15 16 17,18 19 20	1 2 4 6 7 8 9 10,5 12 13 14 15 16 17,5 19 20

Ряд сгруппированных частот.

Такой ряд строят в случае непрерывного признака (или для дискретного признака при объеме совокупности n>50).

При этом весь отрезок [x_min, x_max] разбивается на интервалы, число которых определяется, как правило, по формуле Стерджесса (Sturgess):

k=1+3,32lg(n)=1+1,44ln(n).

Длина интервала: .

Середины интервалов:

y ₁=x_min

y₂=x_min+d

y₃=y₂+d

…

y_k=x_max

Находим частоту каждого интервала n_i: т.е. число значений признака, попавших в данный интервал. Причем, если значение x_i с четной частотой n_i попадает на границу интервала, то половину значений n_i/2 относят к левому интервалу, а другую - к праому. Если n_i нечетное, то к левому относят (n_i+1)/2.

Построим ряд сгруппированных частот для нашего примера:

x_min=105; x_max=145; n=20;

k=1+3,32lg(20)=5,3 (k=5)

d=(145-105)/(5-1)=10

Интервал	Середина интервала	Частота ni	Частость mi=ni/n
100-110 110-120 120-130 130-140 140-150	105 115 125 135 145	2 4 6 5 3	0,1 0,2 0,3 0,25 0,15

Гистограмма частот:

Полигон частостей:

Кумулята, огива:

Характеристики вариационного ряда.

1. Показатели центра распределения.

- Среднее значение признака

- Мода (M_o)

M_o – значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности. В дискретном вариационном ряду модой является варианта с наибольшей частотой или частностью.

В интервальном вариационном ряду мода рассчитывается по формуле:

(*)

Модальный интервал – это интервал, имеющий наибольшую частоту.

Расчет модального значения для вариационных рядов с неравными интервалами осуществляется по формуле аналогичной (*), только вместо показателей частот или частостей используются показатели абсолютной или относительной плотности распределения, которые обеспечивают сопоставимость неравных интервалов. Показатели плотности распределения находятся как отношения частот (частостей) к величине интервала.

- абсолютная плотность распределения

- относительная плотность распределения

- Медиана (Me, Md)

Это варианта, расположенная в середине упорядоченного вариационного ряда, делящая его на две равные части так, что половина единиц совокупности имеет значение признака меньшее, чем медиана, а половина – большее, чем медиана.

xi	5	3	2	1	7
Упорядоч.	1	2	3	5	7

Me=3

Если n=2k+1, Me=X_k+1 ;

Если n=2k, Me=(X_k+X_k+1)/2

Нормальный закон распределения

Функция плотности вероятности для нормального закона распределения:

График такой функции называется кривой Гаусса.

Правило «трех сигм»:

Площадь под кривой Гаусса в диапазоне

составляет 68.3%

составляет 95.4%

составляет 99.7%

Моменты распределения

Начальным моментом k-го порядка называется величина:

Центральным моментом k-го порядка называется величина:

Дисперсия – это центральный момент 2-го порядка.

Средняя арифметическая – начальный момент 1-го порядка.

Основным моментом k-го порядка называется величина:

(безразмерная величина)

- Асимметрия

µ₁=M(X-M(x))=0

-Эксцесс

Для нормального распределения показатели асимметрии и эксцесса равны 0.

Степень существенности (или значимости) асимметрии и эксцесса можно оценить с помощью соответствующих среднеквадратических ошибок коэффициента асимметрии и эксцесса.

; ;

Если - то значение A_s существенно (или значимо).

Если - то значение E_x существенно (значимо).

Для симметричного распределения .

Правосторонняя асимметрия:

Квантили распределения.

Квантиль - это значение, делящее вариационный ряд (или ряд сгруппированных частот) на две части с определенными пропорциями в каждой из них.

К квантилям относятся:

- квартили (Q₁, Q₂, Q₃). Они делят упорядоченную выборку на 4 равные части.

- децили (D₁, D₂, …, D₉). Они делят упорядоченную выборку на 10 равных частей.

- процентили (P₁, P₂, …, P₉₉). Они делят упорядоченную выборку на 100 равных частей.

Пример: 64 студента выполняли тест из 15 вопросов. Оценка равняется количеству правильных ответов. Определим 30 процентиль, т.е. такое значение, меньше которого получили оценку 30% испытуемых.

Интервал	Оценка	Частота ni	Накопленная частота
4,5-5,5 5,5-6,5 6,5-7,5 7,5-8,5 8,5-9,5 9,5-10,5 10,5-11,5 11,5-12,5	5 6 7 8 9 10 11 12	4 7 13 15 7 9 6 3	4 11 24 39 46 55 61 64

Формула для нахождения j-ой процентили:

, ;

d – длина интервала,

x_н – левая (нижняя) граница интервала, содержащего накопленную частоту k,

n* - частота этого интервала,

∑n_i – накопленная к x_н частота.

k=(30*65)/100=19,5

В силу того, что 11 человек имеют оценку 6 или меньше, а 24 – 7 или меньше, то частота k=19,5 лежит в интервале [6,5; 7,5] => x_н=6,5; n*=13; ∑n_i=11, d=1.

P₃₀=6,5 +1(19,5-11)/13=7,15

Следовательно, 30% всех оценок за тест лежит ниже 7,15. Me=P₅₀=D₅=Q₂

Показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации:

1). Размах (Range)

R=X_max - X_min

2). Среднее линейное отклонение

3). Среднее квадратическое отклонение (Standard Deviation)

Дисперсия (Variance):

4). Квартильное отклонение применяется иногда вместо размаха вариации

Относительные показатели:

1). Коэффициент осцилляции

2). Относительное линейное отклонение

3). Коэффициент вариации (наиболее часто применяемый)

4). Коэффициент децильной дифференциации

Правило сложения дисперсий.

Для сгруппированной статистической совокупности возможно вычисление 3-х видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

Общая дисперсия характеризует изменение признака во всей изучаемой совокупности и рассчитывается по формуле:

,

i – индекс суммирования по группам.

j – индекс суммирования по элементам в группе.

Для оценки изменения признака внутри каждой i-ой группы вычисляют внутригрупповые дисперсии:

Обобщенную характеристику внутригруппового изменения для внутригрупповых средних вычисляют так:

Межгрупповая дисперсия показывает вариацию групповых средних вокруг средней величины признака в совокупности:

Общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий.

Шкалы измерения значений признаков.

Выделяют 4-е шкалы, каждая из них связана с определенным свойством чисел. Каждая последующая шкала, кроме свойств чисел, присущих предыдущим шкалам, имеет и свои собственные.

1). Номинальная (шкала наименований, номинативная). Частный случай – дихотомическая.

Свойство чисел: равенство и различие.

2). Порядковая (ранговая или ординальная).

Свойство чисел: упорядоченность.

3). Интервальная шкала.

Позволяет определить, на сколько единиц одно значение признака отличается от другого.

4). Шкала отношений.

Позволяет определить, во сколько раз одно значение отличается от другого. Значение 0 свидетельствует об отсутствии признака у объекта.

Первые два типа шкал называют слабыми или неметрическими. Последние два типа – сильные или метрические.

Значения, полученные по сильной шкале, всегда можно преобразовать в одну из слабых шкал.

Статистический анализ связей.

Статистическая связь – это связь, проявляющаяся не в каждом отдельном случае, а в массе случаев, в средних величинах, в форме тенденции.

Частный случай статистической связи - это корреляционная связь, при которой некоторому изменению одного признака (количеств.) соответствует определенное изменение средней величины другого признака.

Связь двух признаков (y,x) – называют парной корреляцией. x – факторный признак, y – результативный признак или отклик. Влияние нескольких факторов на результативный признак называется множественной корреляцией.

По направлению связи бывают прямые и обратные. Если при увеличении значений X, значения Y в среднем увеличиваются, то связь называется прямой.

Если при увеличении X, значения отклика Y в среднем уменьшаются, то такая связь называется обратной.

Пример: Зависимость качества работы (Y) от скорости ее выполнения (X).

Xi	x1	x2	…	xn
yi	y1	y2	…	yn

Регрессионный анализ исследует форму зависимости между X и Y что выражается в подборе соответствующей функции y=f(x).