2. Логика предикатов

2.1. Основные определения

Логика предикатов – это расширение логики высказываний за счет использования предикатов в роли логических функций.

Язык логики предикатов состоит из следующих основных символов:

1. Логические символы:

а) переменные: ,

б) логические связки: ,

в) запятая, скобки,

г) кванторы: .

2. Специальные символы:

а) предикатные символы:

б) константы: ,

в) функциональные символы: .

Число аргументов предиката называется степенью или местностью предиката.

Кванторы всеобщности и существования двойственны друг к другу: квантор эквивалентен последовательности символов , квантор эквивалентен последовательности символов .

Термом является:

1. Любая константа.

2. Любая переменная.

3. Если - есть -местный функциональный символ и - термы, то - терм.

Выражение , входящее в состав терма , которое в свою очередь является термом называется подтермом .

Терм, в который не входит ни одна переменная называется основным термом.

Элементарной формулой или атомом называется любое выражение вида , где -местный предикатный символ, а - терм .

Формулой называется:

1. Любой атом.

2. Если формулы, то , , , , - также формулы.

Выражение , входящее в состав формулы , которое в свою очередь является формулой называется подформулой .

Вхождение переменной в формулу называется связанным, если существует подформула формулы , которая содержит это вхождение и имеет вид: или , иначе оно называется свободным.

Переменная , входящая в формулу называется свободной, если она имеет по крайне мере одно свободное вхождение в формулу , иначе она называется связанной.

Предложение или замкнутая формула есть формула, не содержащая ни одной свободной переменной. Таким образом, для того чтобы из заданной формулы получить замкнутую формулу необходимо связать все ее свободные переменные с помощью кванторов.

Другой способ получения предложений состоит в подстановке констант на места свободных вхождений переменных.

Подстановочное множество или подстановка есть множество: , где и , являются соответственно переменными и термами, причем равенство влечет , .

- пустая подстановка.

Основной операцией на множестве подстановок является композиция. Пусть и . Тогда композицией и называется подстановка -

.

Два множества формул без кванторов называются вариантами, если можно подобрать такие подстановки и , что , а .

Переименованием называется подстановка вида: , где все являются переменными.

Теорема. Для любых произвольных подстановок и любого произвольного терма выполняются равенства:

1. ,

2. ,

3. .

Методические указания

Даны подстановки и . Найти композиции и .

Варианты задач

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

2.2. Нормальные формы в логике предикатов

В логике высказываний рассматривают две эквивалентные нормальные формы высказываний: КНФ (конъюнктивная нормальная форма) и ДНФ (дизъюнктивная нормальная форма). Аналогичные нормальные формы существуют в логике предикатов, однако, существуют две дополнительные нормальные формы: предваренная нормальная форма (ПНФ) и сколемовская нормальная форма (СНФ), которые различаются типом кванторов, входящих в предложение.

Формула находится в предваренной нормальной форме (ПНФ), если она имеет вид: , где

обозначает один из кванторов - формула без кванторов. Выражение называется префиксом , а называется матрицей .

Алгоритм приведения предложения к ПНФ.

1. Избавиться от символов и с помощью формул:

а)

б)

2. Внести отрицания вглубь формул до атомов с помощью формул: а)

б)

в)

г)

д)

3. Вынести кванторы наружу с помощью формул:

а) ,

б) ,

в) ,

г) , где - не содержит свободных вхождений ,

д) ,

е) , где - не содержит свободных вхождений , переменная не входит в и не входит свободно в . - есть результат замены свободного вхождения на .

Предложение называется универсальным, если оно содержит только кванторы всеобщности, находится в предваренной нормальной форме и выполняется тогда и только тогда, когда выполняется .

Теорема (Левенгейм, Сколем).

Для каждого предложения логики предикатов мы можем построить универсальное предложение такое, что - выполнимо тогда и только тогда, когда выполнимо.

Алгоритм построения универсальной .

1. Построить ПНФ предложения .

2. Последовательно (слева направо) вычеркнуть квантор существования , заменяя все вхождения переменной на новый еще не использованный функциональный символ , в качестве аргументов взять все переменные, связанные предшествующими кванторами всеобщности.

Функциональный символ называется сколемовской функцией. Предложение , полученное в результате выполнения алгоритма построения , называется сколемовской нормальной формой.