Методические указания

Определить, используя метод семантических таблиц, истинность высказываний из пункта 1.2: тавтология, противоречие, выполнимость.

1.4. Аксиоматический метод

Логика высказываний, подобно другим математическим системам, может быть представлена как аксиоматическая система с логическими аксиомами и правилами вывода.

Аксиомы – это некоторые тавтологии.

Каждое выказывание следующего вида является аксиомой:

1.

2.

3.

Для любых высказываний .

Правило вывода – правило заключения (Modus Ponens): высказывание выводится из высказываний и .

Обозначение: .

- называются гипотезами, - называется заключением.

Теорема 1 ( о подстановке эквивалентных формул).

Пусть высказывание выводимо в логике высказываний, - подформула высказывания , и высказывание получено в результате подстановки в высказывание вместо некоторого вхождения формулы эквивалентной ей формулы . Тогда высказывание также выводимо в логике высказываний.

Пусть - множество высказываний. Доказательством или выводом из называется такая конечная последовательность высказываний , что верно:

1. , или

2. - аксиома, или

3. - получено из , , где по правилу заключения.

Высказывание называется доказуемым или выводимым из множества высказываний , если существует такое доказательство из , что совпадает с .

Высказывание называется доказуемым или выводимым, если выводимо в аксиоматической системе определений при помощи правила заключения.

Теорема 2 (теорема дедукции).

Пусть - множество высказываний, - высказывания. Тогда .

Методические указания

Используя аксиоматический метод и предполагая, что и , доказать, что:

Варианты задач

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

1.5. Метод резолюций

Метод резолюций – наиболее эффективный способ алгоритмического доказательства как в логике высказываний, так и в логике предикатов. Именно этот метод построения доказательств составляет основу языка логического программирования ПРОЛОГ.

Литерал – это произвольный атом или его отрицание.

Дизъюнкция конечного множества литералов называется дизъюнктом. Пустой дизъюнкт – это дизъюнкт, который не содержит ни одного литерала и является всегда неподтверждаемым.

Конъюнкция конечного множества дизъюнктов называется множеством дизъюнктов.

Пусть и - дизъюнкты, - такой литерал, что и . Тогда резольвентой дизъюнктов и называется дизъюнкт .

Пусть . Множество , где - резольвента дизъюнктов , называется резольвентой .

Резолюция – это дедуктивное правило, позволяющее выводить из двух посылочных дизъюнктов с противоположными термами один заключительный дизъюнкт, в котором не будет противоположных термов: .

Пусть . Резолютивным выводом из назовем такую конечную последовательность дизъюнктов , что либо , либо .