Методические указания

Определить, используя таблицы истинности, истинность следующих высказываний: тавтология, противоречие, выполнимость.

Варианты задач

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

1.3. Семантические таблицы

Метод таблиц истинности удобен при небольшом количестве атомов, однако, уже при числе атомов таблица истинности будет содержать строк, поэтому существуют более совершенные и экономичные методы.

При помощи семантических таблиц Бета можно определить значение, которое принимает данное высказывание или .

Пусть высказывание. Обозначим через - утверждение “ - ложно”, а через - утверждение “ - истинно”. При этом и называются помеченными формулами.

Вершинами семантической таблицы называются все помеченные формулы, встречающиеся в этой таблице.

Атомарные семантические таблицы.

1. 7.

2. / \

3.

| 8.

| |

|

|

4.

/ \ 9.

/ \

5.

/ \ | |

6. 10.

| / \

| | |

Вершина семантической таблицы называется особой, если она встречается как корень некоторой атомарной таблицы, в противном случае вершина называется обычной.

Ветвь семантической таблицы называется противоречивой, если для некоторого высказывания помеченные формулы и являются вершинами этой ветви.

Семантическая таблица называется противоречивой, если каждая ее ветвь противоречива.

Семантическая таблица называется замкнутой, если каждая ее непротиворечивая ветвь не содержит обычных вершин.

Построение семантической таблицы высказывания :

1. Поместить помеченную формулу или в корень.

2. Пусть построена семантическая таблица , .

3. Тогда расширить семантическую таблицу до таблицы . При этом использовать некоторую вершину семантической таблицы . Из всех обычных вершин , ближайших к корню, выбрать самую левую и обозначить ее . К концу каждой непротиворечивой ветви семантической таблицы присоединить атомарную семантическую таблицу, имеющую корнем . При этом становится особой вершиной. В результате получается таблица . Построение заканчивается, если каждая непротиворечивая ветвь не содержит обычных вершин.

Доказательством или выводом по Бету высказывания называется замкнутая противоречивая семантическая таблица, в корне которой помещена помеченная формула .

Опровержением по Бету высказывания называется замкнутая противоречивая семантическая таблица, имеющая в качестве корня помеченную формулу .

Говорят, что высказывание доказуемо или выводимо по Бету, если оно имеет доказательство по Бету. Говорят, что высказывание опровержимо по Бету, если существует опровержение по Бету.

Пусть - конечная или бесконечная последовательность высказываний. Высказывание - называется дедуктивно выводимым по Бету из высказываний , если существует противоречивая семантическая таблица с корнем .

Последовательность - называется выполнимой, если существует такое истинностное означивание : . При этом говорят, что подтверждает .