ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ

РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Подлежит возврату

№ 0000

Введение в математическую логику

Методические указания

к лабораторным работам

по курсу «Введение в математическую логику»

для студентов, обучающихся

по специальности 230401

Москва 2007

Составитель В.В. Пастуцан

Редактор В.В. Чердынцев

Методические указания содержат краткий теоретический материал по курсу «Введение в математическую логику», варианты заданий для лабораторных работ и библиографический список. Материал предназначен для студентов специальности «Прикладная математика», изучающих курс «Введение в математическую логику».

Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

Рецензенты: В.Г. Финк,

В.В. Чердынцев

© МИРЭА, 2007

Введение

Математическая логика – это наука о законах и формах рационального мышления, методах формализации содержательных теорий, математических рассуждениях, использующая математические методы.

Формы мышления: понятия, суждения, умозаключения.

Понятие – это форма мышления, в которой отражаются существенные признаки предметов.

Суждение или высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или что-либо отрицается о предметах, свойствах или отношениях между ними.

Умозаключение – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких истинных суждений, называемых посылками, по определенным правилам вывода получается суждение – заключение.

Основной принцип формальной логики: правильность умозаключения определяется только его логической формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него суждений.

Первые упоминания о логике содержатся в учебниках ионийских и эллинских философов и софистов. Основателем логики считается Аристотель. Первоначальный интерес к логике утрачивается по мере распространения римского владычества на Средиземноморье.

В средние века большинство трудов античных ученых, за исключением Платона и Аристотеля утеряно. Силлогистика Аристотеля была доступна только избранным монахам.

С открытием неевклидовых геометрий и возникновение потребности в теоретическом обосновании математического анализа интерес к логике возродился.

В 1879 году Фреге впервые разработал формальный язык математики и логики.

Однако, наибольший стимул к развитию математическая логика получила в связи с обнаружением парадоксов теории множеств: 1902 год – парадокс Рассела.

Парадоксы теории множеств вызвали у математиков того времени большие сомнения и неуверенность относительно хорошего обоснования математики. Стало понятно, что создавать по настоящему непротиворечивые математические теории можно только путем использования строгой формализации математических понятий и методов.

Современная математическая логика представляет собой обширный и разветвленный раздел математики: булева логика, логика высказываний, логика предикатов и т. д. Результаты математической логики активно используются в других разделах математики: теория множеств, теория моделей, теория алгоритмов, логическое программирование.