15. Формули, які складають основу реалізації симплексного методу.

1)

- система обмежень

2) система обмежень у векторній формі:

,

3)один із розв’язків системи обмежень (допустимий план):

4)такому плану відповідає розклад

5) розклад для довільного небазисного вектора :

6) умова невід’ємності плану задачі:

7) розклад за базисними векторами

8) значення функціонала:

9) єдиний розклад за векторами базису

,

10)єдине значення функ­ціонала:

.

11)умова оптимальності плану задачі ЛП

,

12) значення функціонала згідно з (11):

13) Розклад вектора А _k за початковим базисом

14) Розклад вектора А_l за новим базисом

.

15) Розклад вектора А₀ за початковим базисом

16) значення компонент наступного опорного

17) Розклад за початковим базисом будь-якого з векторів

18) формули повних виключень Жор­дана—Гаусса (правило прямокутника):

-

19)

20) формули повних виключень Жор­дана—Гаусса: (правило прямокутника):

16. Економічна інтерпретація розв’язку задачі лп отриманого симплексним методом.

Економічну інтерпретацію задач розглянемо на прикладі виробничої задачі .

Пряма задача: max F = c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n (3.1)

за умов: (3.2)

. (3.3)

Необхідно визначити, яку кількість продукції кожного j-го виду необхідно виготовляти в процесі виробництва, щоб максимізувати загальну виручку від реалізації продукції підприємства. Причому відомі: наявні обсяги ресурсів — ; норми витрат і-го виду ресурсу на виробництво одиниці j-го виду продукції — , а також — ціни реалізації одиниці j-ої продукції.

Розглянемо тепер цю саму задачу з іншого погляду. Допустимо, що за певних умов доцільно продавати деяку частину чи всі наявні ресурси. Необхідно визначити ціни ресурсів. Кожному ресурсу поставимо у відповідність його оцінку . — ціна одиниці і-го ресурсу.

На виготовлення одиниці j-го виду продукції витрачається згід­но з моделлю (3.1)—(3.3) m видів ресурсів у кількості відповідно . Оскільки ціна одиниці і-го виду ресурсу дорівнює , то загальна вартість ресурсів, що витрачаються на виробництво одиниці j-го виду продукції, обчислюється у такий спосіб:

.

Продавати ресурси доцільно лише за умови, що виручка, отримана від продажу ресурсів, перевищує суму, яку можна було б отримати від реалізації продукції, виготовленої з тих самих обсягів ресурсів, тобто:

.

Необхідно визначити мінімальні ціни одиниць кожного виду ресурсів, за яких їх продаж є доцільнішим, ніж виготовлення продукції. Загальну вартість ресурсів можна виразити формулою:

.

Отже, в результаті маємо двоїсту задачу:

(3.4)

за умов: (3.5)

(3.6)

Необхідно визначити, які мінімальні ціни можна встановити для одиниці кожного і-го виду ресурсу , щоб продаж ресурсів був доцільнішим, ніж виробництво продукції.

Зауважимо, що справжній зміст величин — умовні ціни, що виражають рівень «цінності» відповідного ресурсу (В. Канторович назвав їх об’єктивно обумовленими оцін­ками ).

Задача (3.4)—(3.6) є двоїстою або спряженою до задачі (3.1)—(3.3), яку називають прямою (основною, початковою). Поняття двоїстості є взаємним. По суті мова йде про одну і ту ж задачу, але з різних поглядів. Тому кожну з них можна вважати прямою, а іншу — двоїстою. Як у прямій, так і у двоїстій задачі викорис­товують один набір початкових даних: , ; . Крім того, вектор обмежень початкової задачі стає вектором коефіцієнтів цільової функції двоїстої задачі і навпаки, а рядки матриці А (матриці коефіцієнтів при змінних з обмежень прямої задачі) стають стовпцями матриці коефіцієнтів при змінних в обмеженнях двоїстої задачі. Кожному обмеженню початкової задачі відповідає змінна двоїстої і навпаки.