4.Визначення лінійного програмування.

Лінійне програмування - це розділ математики, про методи знаходження екстремальних значень лінійної функції, на невідомі якої накладені обмеження, що виражені рівняннями чи нерівностями лінійного виду.

Розрізняють стандартну та канонічну форму запису задач лінійного програмування. При стандартній формі запису математична постановка задачі має вигляд. Знайти максимум

цільової функції

z=c ₁ x ₁ +c ₂х₂ +...+c _n x _n →mах (2.1)

при обмеженнях

a₁₁ x₁ +a₁₂ x₂ +...+a_1n x_{n ≤ b1}

a₂₁ x₁ +a₂₂ x₂ +...+a_2n x_{n ≥b2}

..............................................

a_k1 x₁ +a_k2 x₂ +...+a_kn x_n ≤ b_k ; x₁,...,x₂≥0 (2.2)

Канонічна форма запису відрізняється від стандартної тим, що в обмеженнях задачі замість системи нерівностей має місце система рівнянь

a₁₁ x₁ +a₁₂ x₂ +...+a_1n x_{n = b1}

a₂₁ x₁ +a₂₂ x₂ +...+a_2n x_{n =b2},

...............................................

a_k1 x₁ +a_k2 x₂ +...+a_kn x_n = b_k ; x₁,...,x₂≥0 (2.3)

У реальних ситуаціях може виникнути необхідність постановки задачі з обмеженнями із знаком ≥ , а критерій: цільової функції буде вимагати не максимізації, а мінімізації. Особливість розв'язування задач лінійного програмування полягає в тому, що універсальні методи розв'язування, зокрема симпяекс-метод, розроблені для канонічної форми, тому у випадках постановки задачі, яка відрізняється від канонічної, простими математичними діями її приводять до канонічної форми запису. Наприклад, у ліву частину системи (2.2) вводять додаткові змінні x_n+1, x_n+2 і т.д. щоб замінити знак ≤ на =. Якщо цільову функцію (2.1) необхідно мінімізувати, то її замінюють на протилежну за знаком, так як min ; z= max(-z). Цільова функція може мати вигляд дещо відмінний від (2.1). У цьому випадку можуть бути застосовані спеціальні .алгоритми розв'язання задачі.

5.Визначення динамічного програмування.

Всі економічні процеси та явища є динамічними, оскільки вони функціонують і розвиваються не тільки у просторі, але й у часі. Для народного господарства в цілому, його галузей, регіонів чи окремих підприємств з метою їх стабільного функціонування та розвитку необхідно розробляти стратегічні та тактичні плани. Стратегічні плани містять параметри діяльності об’єктів, які харак­теризують їх віддалене майбутнє. Отже, вони мають розроблятися на основі динамічних моделей, для знаходження розв’язків яких застосовуються методи динамічного програмування.

Динамічне програмування являє собою математичний апарат, що дає змогу здійснювати планування багатокрокових керованих процесів, а також процесів, які розвиваються у часі.

Отже, динамічне програмування не є окремим методом розв’язування задач, а являє собою теорію, що поєднує ряд однотипних ідей та прийомів, які застосовуються для розв’язування досить різних за змістом задач.

До задач динамічного програмування належать такі, що пов’язані з оптимальним розподілом капіталовкладень, розподілом продукції між різними регіонами, визначенням найкоротшого шляху завезення товарів споживачам, задачі щодо заміни устат­кування, оптимального управління запасами тощо.

Економічні процеси можна уявити складеними з кількох етапів (кроків). На кожному з них здійснюється вплив на розвиток всього процесу. Тому у разі планування багатоетапних процесів прийняття рішень на кожному етапі має враховувати попередні зміни та бути підпорядкованим кінцевому результату. Динамічне програмування дає змогу прийняти ряд послідовних рішень, що забезпечує оптимальність розвитку процесу в цілому.

Слід зазначити, що оптимальні плани стосовно окремих відріз­ків планового періоду не завжди є оптимальними для всього інтервалу планування. Наприклад, недостатньо визначити оптимальний план виробництва на один місяць і орієнтуватися на нього протягом тривалого часу. Досить ймовірно, що в наступні місяці виробництво за тим самим планом може стати неоптимальним, оскільки за його розроблення можливості дальшого розвитку не враховувались. Доцільніше визначати оптимальні плани на кожен місяць з урахуванням змін у попередніх періодах. Лише тоді річний оптимальний план виробництва буде сумарним результатом оптимальних рішень, що приймалися для кожного місяця.

Поставимо задачу динамічного програмування в загальному вигляді.

Нехай аналізується деякий керований процес, подання якого допускає декомпозицію на послідовні етапи (кроки), кількість яких n задана. Ефективність всього процесу Z може бути подана як сума ефективностей окремих кроків, тобто:

,

що має назву адитивного критерію (або як добуток ефективностей окремих кроків у вигляді: , що має назву мультиплікативного критерію).

З кожним етапом (кроком) задачі пов’язане прийняття певного рішення, так званого крокового управління що визначає як ефективність даного етапу, так і всього процесу в цілому.

Розв’язування задачі динамічного програмування полягає в знаходженні такого управління процесом у цілому, яке максимізує загальну ефективність: (max ).

Оптимальним розв’язком цієї задачі є управління що складається з сукупності оптимальних покрокових управлінь:

і уможливлює досягнення максимальної ефективності:

6.Визначення математичного програмування.

Математичне програмування — один із напрямків прикладної математики, предметом якого є задачі на знаходження екстремуму деякої функції за певних заданих умов.

Об’єктами математичного програмування є різноманітні галузі людської діяльності, де в певних ситуаціях необхідно здійснити вибір найкращого з можливих варіантів дій. Основою такого вибору є знаходження розв’язку екстремальної задачі методами математичного програмування.

Розв’язання екстремальної економічної задачі складається з побудови економіко-математичної моделі, підготовки інформації, відшукання оптимального плану, економічного аналізу отриманих результатів і визначення можливостей їх практичного застосування.

Загальна модель задачі математичного програмування має такий вигляд:

 У структурі моделі (1.1) можна виділити 3 елементи:

1)    Набір керованих змінних x₁, x₂, ... x _n, значення яких підлягають оптимізації. Різні допустимі комбінації значень змінних відповідають можливим розв’язкам задачі.

2)    Цільова функція z (x₁, x₂, ... x _n) - функція, що виражає залежність прийнятого критерію оптимальності від керованих змінних.

Критерій оптимальності є мірою наближення розв’язку до поставленої мети. В економічних задачах, як правило, таким критерієм виступає показник ефективності функціонування системи (наприклад, прибуток від реалізації продукції, продуктивність праці, таке інше) або показник витрат. Слід зазначити, що одній меті можуть відповідати декілька критеріїв оптимальності (багатокритеріальна задача); в цьому разі цільова функція має враховувати всі виділені критерії.

3)    Умови або обмеження g (x₁, x₂, ... x _n), що накладаються на значення змінних або на співвідношення між ними.