5. Приняв шаг , вычислить интеграл . Оценить погрешность результата по правилу Рунге (методом двойного пересчета).
Решение:
Вычислим интеграл по формуле Симпсона:
Таблица значений функции:
x |
1 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
y |
1,3038 |
1,3416 |
1,3784 |
1,4142 |
1,4491 |
1,4832 |
1,5166 |
1,7 |
1,8 |
1,9 |
2 |
2,1 |
2,2 |
1,5492 |
1,5811 |
1,6125 |
1,6432 |
1,6733 |
1,7029 |
С
удвоенным шагом
:
Таблица значений функции:
x |
1 |
1,2 |
1,4 |
1,6 |
1,8 |
2 |
2,2 |
y |
1,3038 |
1,3784 |
1,4491 |
1,5166 |
1,5811 |
1,6432 |
1,7029 |
Оценка погрешности результата по формуле Рунге:
6. Для функции, заданной таблицей
x |
1,0 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
1,8 |
1,9 |
2,0 |
y |
1,500 |
1,400 |
1,300 |
1,200 |
1,214 |
1,167 |
1,125 |
1,088 |
1,056 |
1,026 |
1,000 |
построить
формулу вида
,
определив
и
методом наименьших квадратов.
Решение:
Введем
замену
,
тогда функция примет вид многочлена
первой степени
,
коэффициенты выражаются из системы
двух линейных уравнений с двумя
неизвестными:
откуда
x |
1,0 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
1,8 |
1,9 |
2,0 |
y |
1,500 |
1,400 |
1,300 |
1,200 |
1,214 |
1,167 |
1,125 |
1,088 |
1,056 |
1,026 |
1,000 |
t |
1 |
0,909 |
0,833 |
0,769 |
0,714 |
0,667 |
0,625 |
0,588 |
0,556 |
0,526 |
0,5 |
,
.
.
Графики функции:
7. Найти методом численного дифференцирования производные первых трех порядков для полинома из пункта 4а) в точке
Решение
Примем , таблица значений функции:
|
|
|
|
|
|
|
-2,8 |
-2,7 |
-2,6 |
-2,5 |
-2,4 |
-2,3 |
-2,2 |
-36,092 |
-33,543 |
-31,156 |
-28,925 |
-26,844 |
-24,907 |
-23,108 |
Тогда по формулам численного дифференцирования:
Точные значения производных:
8. Найти приближенное решение ЗК для СОДУ методами типа Рунге-Кутты (тремя методами, один из которых "классический", сравнить полученные результаты).
Решение:
Метод Эйлера заключается в последовательном применении следующих формул:
,
,
.
t |
y1 |
y2 |
0 |
1 |
1 |
0,2 |
1 |
1 |
0,4 |
1 |
1,08 |
0,6 |
1,0064 |
1,2464 |
0,8 |
1,0352 |
1,516736 |
1 |
1,112246 |
1,925046 |
1,2 |
1,274806 |
2,532504 |
1,4 |
1,576653 |
3,446258 |
1,6 |
2,100143 |
4,852674 |
1,8 |
2,980953 |
7,077575 |
2 |
4,455737 |
10,69864 |
Метод Рунге-Кутты второго порядка заключается в последовательном применении следующих формул:
.
t |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
1 |
0,2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0,08 |
1,04 |
0,4 |
0,0016 |
0,003072 |
1,002336 |
0,0816 |
0,169728 |
1,165664 |
0,6 |
0,013066 |
0,018031 |
1,017885 |
0,17344 |
0,280973 |
1,39287 |
0,8 |
0,044998 |
0,052798 |
1,066783 |
0,289291 |
0,432007 |
1,753519 |
1 |
0,109878 |
0,115372 |
1,179408 |
0,451248 |
0,65431 |
2,306299 |
1,2 |
0,225378 |
0,216363 |
1,400278 |
0,697141 |
1,003883 |
3,156811 |
1,4 |
0,421568 |
0,37379 |
1,797957 |
1,093701 |
1,582221 |
4,494772 |
1,6 |
0,755108 |
0,621346 |
2,486185 |
1,761964 |
2,577502 |
6,664506 |
1,8 |
1,337063 |
1,022853 |
3,666142 |
2,928221 |
4,348408 |
10,30282 |
2 |
2,389204 |
1,698989 |
5,710239 |
5,028826 |
7,599116 |
16,61679 |
Метод Рунге-Кутта 4-го порядка заключается в последовательном применении следующих формул:
.
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0,2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0,04 |
0,04 |
0,081 |
1,04 |
0,4 |
0,002 |
0,002 |
0,001 |
0,002 |
1,002 |
0,082 |
0,125 |
0,042 |
0,082 |
1,123 |
0,6 |
0,01 |
0,012 |
0,002 |
0,005 |
1,009 |
0,17 |
0,221 |
0,045 |
0,086 |
1,254 |
0,8 |
0,029 |
0,032 |
0,005 |
0,01 |
1,028 |
0,272 |
0,336 |
0,049 |
0,091 |
1,443 |
1 |
0,066 |
0,069 |
0,008 |
0,016 |
1,067 |
0,395 |
0,48 |
0,054 |
0,1 |
1,704 |
1,2 |
0,127 |
0,126 |
0,011 |
0,025 |
1,138 |
0,554 |
0,671 |
0,062 |
0,112 |
2,059 |
1,4 |
0,221 |
0,211 |
0,016 |
0,037 |
1,257 |
0,767 |
0,931 |
0,073 |
0,129 |
2,543 |
1,6 |
0,36 |
0,332 |
0,022 |
0,051 |
1,443 |
1,064 |
1,3 |
0,089 |
0,154 |
3,209 |
1,8 |
0,565 |
0,504 |
0,03 |
0,07 |
1,727 |
1,489 |
1,835 |
0,111 |
0,188 |
4,137 |
2 |
0,868 |
0,751 |
0,041 |
0,096 |
2,152 |
2,111 |
2,63 |
0,144 |
0,237 |
5,453 |
Для сравнения полученных результатов, построим графики полученных решений:
