3.2. Приклади потокових моделей.

Приклад 1. За даною матрицею , що описує грошові потоки між трьома містами [6.63]

та векторами , знайти компоненти вектора за період часу (три кроки).

Розв’язання. Скористатись рівнянням [52], дістанемо

.

Канонізуємо матрицю :

Далі, записавши матрицю

подамо рівняння [52] у розгорнутому вигляді:

+

Отже, по закінченню часу у першому місті буде 0,735, у другому – 15,746 і у третьому – 0,326 грошової одиниці.

Приклад 2. За даною матрицею [6.66]

яка описує грошові потоки між чотирма містами певного регіону та векторами перевірити на прийнятність вектор , скориставшись для цього третім критерієм.

Розв’язання. Обчислимо компоненти вектора при

Оскільки , де 1 – значення найменшого компонента вектора , то цей вектор неприйнятний.

Візьмемо тепер вектор та інший початковий вектор . Для цих векторів за дістанемо:

Оскільки де 2 – значення найменшого компонента вектора , то цей вектор прийнятний.

Розділ 4. Аналіз ланцюгів Маркова в пакеті Mathcad

4.1. Необхідний матеріал для засвоєння.

Будуть використовуватися стандартні функції, представлені пакетом, зокрема, для роботи з матрицями. Значення цих функцій описано нами в попередніх практиках[9.237]. Із нових відмітимо функцію identity(n), яка формує одиничну матрицю розмірності n (всі діагональні елементи рівні одиниці, а не діагональні – нулю).

Реалізація завдання:

Для проведення обчислення нам знадобиться ряд функцій користувача. Програмні модулі, реалізуючі ці функції представлені на рис. 3.1, 3.2, 3.3, 3,4.

(3.00) (3.01)

Функція обчислює по формулі (3.00) матрицю переходу ймовірностей стану ланцюга Маркова за n кроків, якщо матриця переходу ймовірностей – . Безумовні ймовірності (3.01) станів ланцюга Маркова на кроці обчислюється функцією , де – це вектор ймовірностей стану на нульовому кроці. Функція , обчислює ймовірності станів для всіх кроків, в припущенні, що – розподіл ймовірностей станів на нульовому кроці.

Наступна група функцій забезпечує моделювання ланцюгів Маркова, реалізує алгоритм, поданий нижче. Функція визначає номер інтервалу в якому міститься число . Довжини інтервалів містяться у вектор стовпчику . Функція здійснює детерміноване моделювання ланцюга Маркова протягом кроків, видаючи одну траєкторію для заданого вектора .

В якості вхідних змінних використовуються: вектор , визначаючий початковий розподіл ймовірностей стану ланцюга; – матриця ймовірностей переходу між станами за крок; вектор , що містить компоненту , які використовуються при визначенні станів ланцюга Маркова на різних кроках (компонента використовується для позначення початкового стану ланцюга згідно розподілу , інші компоненти – для позначення станів на кроках ). Дана функція використовується в модулі, реалізуючи основну функцію , яка сама регенерує значення вектора . Даний модуль здійснює імітаційне моделювання ланцюга Маркова протягом кроків. Тут ті ж, що і в попередній програмі, а – модельованих траєкторій. Функція в якості результату повертає матрицю, рядки якої відповідають номеру кроку, а стовпці – номеру реалізації. На їх перетині стоїть номер стану на даному кроці при відповідній реалізації.