1.4 Розглянемо декілька вправ з випадковими подіями, та стохастичними експериментами:

Приклад 1-1. Підкиданням одного грального кубика:

Множина всіх елементарних подій

A – випаде число кратне 2 (2к):

B – випаде число (2к + 1):

C – випаде число (> 4):

D – випаде число (< 2, < 4):

F – випаде число (7):

Розглянемо даний випадок з кругами Ейлера:

Приклад 1-2. Підкиданням двох звичайних монет:

Множина всіх елементарних подій

А – випаде хоча б один Г:

В – випаде ГГ або РР:

Приклад 2-1. Доведіть, що:

Дана рівність є справедливою тому, що може виконатись лише одна подія або або . Наприклад візьмемо звичайну монету, подія – випаде Герб подія – випаде Решка. Після підкидання монети ми точно одержимо одну з подій або Герб або Решка, адже монета не може після падіння стояти на ребрі.

Приклад 2-2. Доведіть, що:

Дана рівність є справедливою, ми це розглянемо на прикладі грального кубика.

Нехай – випаде ≤ 3, а – випаде ≥ 3. Тобто ми маємо 2 підмножини можливих випадків .

Відповіддю на дану задачу буде заштрихована область.

Приклад 2-3. Доведіть, що:

Спочатку відбудуться події , і , а після знаку рівності спочатку відбудуться події , і . Але результат залишиться той же тому, що нас цікавить кінцевий результат а не послідовність дій.

Дана вправа нагадує асоціативність, тобто від перестановки множників добуток не зміниться.

Розділ 2. Ланцюги Маркова

2.1 Поняття марківського випадкового процесу.

Серед випадкових процесів особливе місце займають марківські випадкові процеси.

Розглянемо деяку фізичну систему S, в якій відбуваються випадковий процес. З плином часу система може під впливом випадкових факторів може перейти з одного стану в другий стан.

Випадковий процес називається процесом з дискретними станами, якщо множина його можливих станів скінченна або зчисленна (тобто їх можна зарані перелічити), а перехід з одного стану в інший відбувається стрибком, переходи можливі лише у відповідний момент часу

Якщо переходи можливі в любий момент часу, тобто моменти переходів із одного стану в другий є випадковими, то процес називається процесом з неперервним часом.

Випадковий процес з дискретними станами називається марківським процесом, якщо для любого моменту часу умова ймовірності кожного із станів системи S в майбутньому (тобто при ) залежить лише від стану в теперішньому (тобто при ) і не залежить від того, коли і як система прийшла в цей стан (тобто які були стани системи S в минулому ).

Марківський процес називають також процесом без наслідків: майбутнє в ньому залежить від минулого лише через теперішнє, тобто ймовірність системи S попасти в стан s_j в момент часу залежить лише від стану s_i, в якому система знаходилась в попередній момент часу

де – всі можливі стани системи .

Марківський процес слугує моделлю для багатьох процесів в біології (поширення епідемії, ріст популяції), в фізиці (розпад радіоактивної речовини), в теорії масового обслуговування. Відмітимо, що СМО множина станів системи визначається числом каналів, тобто лінії зв’язку, обчислювальні машини, продавці і т. д.; переходи між станами системи S відбуваються під впливом потоку подій (потоку заявок, потреб, відмов і т. д.), які являються найпростішими, пуасонівськими.

Випадковий процес з дискретними станами зручно ілюструвати за допомогою названого графу станів. В ньому стани системи S зображені прямокутниками (або кругами), а можливі безпосередні переходи із стану в стан – стрілками (або орієнтованими дугами), з’єднуючими станами.

Ланцюг Маркова називається однорідним, якщо p_ij(k)=p_ij, тобто умовна ймовірність не залежить від номера випробувань. Надалі будемо розглядати лише однорідні ланцюги, які можуть бути задані за допомогою вектора (p₁(0), p₂(0),…, p_n(0)) – ймовірність станів в момент часу t₀=0 в матриці

яку називають матрицею переходу системи.

Елементи матриці P мають наступні властивості:

1. p_ij ≥ 0,

2. (i=1,2,3,…,n), тобто сума ймовірностей кожного рядка матриці рівна одиниці (як ймовірність подій – переходу з одногу стану s_i в будь-який можливий стан s_j – утворюючих повну групу).

Справедлива формула P(n)=Pⁿ, тобто матриця переходів за n кроків є n-ю степінню матриці переходів за один крок.