1.3 Властивостi класу випадкових подiй

Клас усіх випадкових подiй у даному стохастичному експерименті будемо позначати через F.

Оскiльки клас висловлювань замкнений відносно операцій заперечення, кон’юнкції, диз’юнкції та iнших теоретико-множинних операцій i мiстить також суперечливі висловлювання, то природно прийняти вiдповiднi властивостi класу F всіх випадкових подiй – підмножин Ω.

1. Множина (”щось та відбудеться”) є випадковою подiєю:

яка називається універсальною.

2. Множина , що не мiстить жодної елементарної події (”нічого не відбудеться”), є випадковою подiєю: ; i називається неможливою подiєю.

3. Належність елементарної події випадковiй подiї A, позначення відображається висловлюваннями: сприяє A, або ж подiя A вiдбувається при даній елементарній події .

4. Справедливість включення визначає, що подiя A спричиняє подію B (або ж міститься в ній). Альтернативна інтерпретація: якщо вiдбувається A, то вiдбувається i B.

5. Для події A її доповнення (або заперечення) є випадковою подiєю: , яка полягає в тому, що не відбудеться A.

6. Для двох подiй A, B їх об’єднання є випадковою подiєю, яка полягає в тому, що відбудеться A або B.

7. Для двох випадкових подiй A, B їх переріз (або ж перетин) – множина є випадковою подiєю, яка полягає в тому, що події A i B відбудуться одночасно.

8. Якщо , то події A, B називаються несумісними (або ж такими, що не перетинаються).

9. Для двох подiй A, B їх різниця є випадковою подiєю, яка полягає в тому, що відбудеться A i одночасно не відбудеться B.

10. Для двох подiй A, B їх симетрична різниця є випадковою подiєю, яка полягає в тому, що з подiй A, B відбудеться точно одна подiя, тобто .

11. Події послідовності називаються попарно несумісними, якщо

12. Для послідовності випадкових подiй їх зліченне об’єднання є випадковою подiєю: , яка полягає в тому, що відбудеться хоча б одна подiя із цієї послідовності.

13. Зліченний переріз є випадковою подiєю, яка полягає в тому, що відбудуться всi події із даної послідовності.

14. Нехай – монотонно неспадна послідовність подiй, тобто . Їх монотонною границею A (що позначається як ) є випадкова подiя, яка полягає в тому, що відбудеться принаймні одна подiя даної послідовності (а отже, i кожна, починаючи з деякого номера), тобто . У такому випадку кажуть, що події монотонно збігаються до A.

15. Нехай – монотонно незростаюча послiдовнiсть подiй, тобто . Їх монотонною границею A є випадкова подiя, яка полягає в тому, що відбудуться одночасно всi події послідовності, тобто (це позначається як ). У такому випадку кажуть, що події монотонно збігаються до A.

16. Для послідовності подiй їх верхня границя є випадковою подiєю, яка полягає в тому, що події даної послідовності відбудуться нескінченно часто, тобто відбудуться всi події з деякої нескінченної підпослідовносте . Цю подiю можна зобразити у вигляді: . Дійсно, елементарна подiя належить правiй частині рівності тоді й тiльки тоді, коли для довільного номера знайдеться номер такий, що , тобто коли відбудеться нескінченна кількість серед подiй .

17. Для послідовності подiй їх нижня границя є випадковою подiєю, яка полягає в тому, що відбудуться всi події даної послідовності починаючи з деякого номера. Ця подiя позначається через: . Дійсно, елементарна подiя належить правiй частині рівності тоді й тiльки тоді, коли знайдеться номер такий, що при всіх , тобто коли відбудуться всi події An; починаючи з деякого номера.

Між теоретико-ймовірнісними поняттями випадкових подiй i операцій над ними, та теоретико-множинними поняттями множин i їх перетворень, є пряма відповідність, що ілюструється у такій таблиці.