Розділ 1. Теорія ймовірностей

1.1 Основні поняття теорії ймовірностей.

Теорiя ймовiрностей – це розділ математики, в якому вивчаються математичнi моделi випадкових (стохастичних) явищ.

З погляду ймовiрнiсникiв, усi природнi та соцiальнi явища можна класифікувати на такi групи:

Детермiнованi. За вченням картезiанцiв, для таких явищ досить лише вказати початковi умови – i ми знатимемо все про їх майбутнє, розв’язуючи вiдповiднi рiвняння динамiки. На практицi детермiнованих явищ немає.

Недетерміновані неповторюванi. Наприклад: наявнiсть життя на Марсi. Висловлювання щодо його iмовiрностi не можна обґрунтувати на пiдставi iнших спостережень – адже цей феномен унiкальний.

Недетермiнованi повторюванi з непередбачуваною поведiнкою частот. Приклад: для прогнозу поведiнки послiдовних цифр числа ¼ статистика не може бути застосована.

Недетермiнованi повторюванi зі стiйкiстю частот – для них вiдносна частота подiї має певну границю при нескiнченному зростаннi кiлькостi спостережень. Явища з останньої групи називаються випадковими. Їх iснування на практицi доведено всiм досвiдом застосувань теорiї ймовiрностей i може бути проiлюстровано дослiдами видатних математикiв, якi проводили серiї пiдкидань монети та обчислювали частоти реверса:

Ж. Бюффон 4000 пiдкидань частота реверса = 0.5080

П. Морган 4800 пiдкидань частота реверса = 0.5005

К. Пiрсон 24000 пiдкидань частота реверса = 0.5005

В. Феллер 10000 пiдкидань частота реверса = 0.4979

1.2 Стохастичний експеримент, події та операції на ними.

Теорiя ймовiрностей, як будь-який інший роздiл чистої математики, побудована аксіоматично, тобто нам потрібно ввести деякі вхідні дані які не визначаються в середині теорії, та аксіоми що пов’язують ці поняття. Основними поняттями теорiї ймовiрностей є поняття стохастичного експерименту, елементарної подiї та простору елементарних подій. Отже, наступнi висловлювання та означення слiд розумiти як пояснення, що лежать поза математикою.

Стохастичний експеримент – це певне випробування, спостереження чи дослiд, результат якого не можна передбачити однозначно (наприклад, пiдкидання монети чи грального кубика), або ж можна передбачити (на-приклад, неправильна відповідь на iспитi).

Елементарною подiєю називається певний фiксований результат стохастичного експерименту, який не можна виразити через сукупнiсть iнших результатiв (чи спричинити ними). Зокрема, різні елементарні подiї не можуть відбутися одночасно. Множина всіх елементарних подій називається простором елементарних подій.

Отже, в результатi проведення стохастичного експерименту завжди вiдбувається одна i тiльки одна елементарна подiя з простору елементарних подiй.

Оскiльки у теорiї ймовiрностей фiзична природа елементарних подiй та простору елементарних подiй не має суттєвого значення, то простором елементарних подiй може бути довільна абстрактна множина, а елементарна подiя є будь-яким елементом цієї множини.

У теорiї ймовiрностей простiр елементарних подiй позначається символом грецького алфавiту ; а елементарна подiя – через .

Зi стохастичним експериментом можна пов’язати певне висловлювання про його результат. Оскiльки для кожної елементарної подiї можна встановити, справедливе дане висловлювання чи нi, то довiльному висловлюванню вiдповiдає певна множина елементарних подiй, а саме: така пiдмножина простору елементарних подiй, для елементiв якої справджується дане висловлювання.

Випадковими подiями називаються пiдмножини простору елементарних подiй, що є вiдповiдними прообразами певних висловлювань про результат стохастичного експерименту.