Черкаський національний університет

Імені богдана хмельницького

Кафедра алгебри та математичного аналізу

Курсова робота

на тему: “Ланцюги Маркова та Марківські процеси”

Студента 3 курсу М – 3 групи

напряму підготовки ННІ ФМ та КІС

спеціальності математика

Сагача Віталія Івановича

Керівник ___________________________

____________________________________

(посада, вчене звання, науковий ступінь, прізвище та ініціали)

Національна шкала ________________

Кількість балів: __________Оцінка: ECTS _____

Члени комісії ________________ ___________________________

(підпис) (прізвище та ініціали)

________________ ___________________________

(підпис) (прізвище та ініціали)

________________ ___________________________

(підпис) (прізвище та ініціали

Черкаси - 2014

Зміст

Вступ…………………………………………………………………….……...…3

Розділ 1. Теорія ймовірностей…………………………………………………5

1.1 Основні поняття теорії ймовірностей……………………………….……..5

1.2 Стохастичний експеримент, події та операції на ними…………..………6

1.3 Властивості класу випадкових подій……………………………...……….7

1.4 Приклали стохастичних експериментів та випадкових подій…….…….11

Розділ 2. Ланцюги Маркова……………………………………………..……13

2.1 Поняття марківського випадкового процесу………...………..……….…13

2.2 Класифікація станів у загальному випадку…………..…………………...15

2.2.1 Ергодичний стан…………………………………………………………...15

2.2.2 Нестійкий стан……………………………………………………………..16

2.2.3 Поглинальний стан………………………………………………………...17

2.3 Приклади ланцюгів Маркова………………………………………….…..17

2.3.1 Задачі на блукання по безкінечній прямій……………………………….23

Розділ 3. Імовірнісні моделі із застосування ланцюгів Маркова………..26

3.1 Імовірнісна модель грошових потоків та їх стабілізація…………………26

3.1.1 П.М. із втручання уряду у грошову ситуацію кожного міста……….…27

3.2 Приклади потокових моделей………………………………………….…..29

Розділ 4. Аналіз Ланцюгів Маркова в пакеті Mathcad …………………...32

4.1 Необхідний матеріал для засвоєння…………………………………..……32

4.2 Відтворимо алгоритм в пакеті Mathcad……………………………...……..33

4.3 Результати обчислень………………………………………………………..38

Висновки……………………………………………………………………..….41

Список використаної літератури …………………...…………………….…42

ВСТУП

За даними попередніх курсових робіт ми вже знайомі з багатьма математичними поняттями, які нам допоможуть надалі. В ході роботи, над курсовою роботою було розглянуто ряд прикладів, і підібрано самі цікаві та актуальні на мій погляд. Спробуємо описати детерміновану модель як ймовірнісну.

Детермінована модель - це модель, результати якої визначені через відомі відношення станів і подій, і в який заданий вхід буде завжди видавати той же самий результат (наприклад, модель, що зображує відому хімічну реакцію).[8]

Будь-яка ймовірнісна модель більш адекватно, ніж детермінована, описує модельований реальний процес, але не дає змоги однозначно передбачити зміну окремих його параметрів. На підставі такої моделі можна, проте доволі точно спрогнозувати очікувані значення тих чи інших параметрів випадкового процесу. Втім, у навколишньому світі всі процеси є, по суті, ймовірнісними, а описувати їх детермінованими моделями неможливо, хоча математичний апарат, застосовуваний для дослідження детермінованих моделей, придатний здебільшого, і для дослідження ймовірнісних моделей.

Марковські ланцюги, як ефективний апарат дослідження, використовуються в багатьох галузях науки і техніки.

Мета роботи – дослідити використання ланцюгів Маркова в потокових моделях та відобразити ланцюги в пакеті MathCad, тобто підібрати ряд задач з використанням ланцюга маркова.

Для досягнення мети було досліджено:

1. Дослідити літературу з даної теми;

2. Розглянуто ряд потокових задач;

3. Досліджено дані задачі;

4. Навести ряд прикладів ланцюгів маркова.