4. Определение скорости точки при векторном способе задания движения.

 

Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом-вектором   , а в момент времени t₁– радиусом-вектором   , тогда за промежуток времени  точка совершит перемещение  .

(1.5) средняя скорость точки,   направлен вектор также как и вектор

 

Скорость точки в данный момент времени

 

         Чтобы получить скорость точки в данный момент времени, необходимо совершить предельный переход

   (1.6)

 

  (1.7)

 

Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора по времени  и направлен по касательной к траектории в данной точке.

(единица измерения  м/с, км/час)

 

Ускорение точки при векторном способе задания движения

 

(1.8)       (1.9)   (1.10)

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и векторΔv, то есть, направлен в сторону вогнутости траектории.

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

(еденица измерения -  )

Как располагается вектор   по отношению к траектории точки?

При прямолинейном движении вектор   направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения  , также как и вектор  _ср лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор  _ср будет направлен в сторону вогнутости траектории и будет лежать в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в соседней точке М₁. В пределе, когда точка М₁ стремится к М эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости. Следовательно, в общем случае вектор ускорения   лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

1. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

 

ТЕОРЕМА: Проекция производной от вектора на какую-нибудь неподвижную ось равна производной от проекции вектора на ту же ось.

 

.

 

          (2.1)

 

                                               (2.2)

 

 

Если           

то                (2.3)

 

 

Определение скорости точки

 

Так как,                  и         

              но           

 

На основании (1.13), получим

 

   (2.4)

 

        или              

Таким образом, проекции скорости на оси координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

 

(2.5)

 

         Система (1.15) определяет модуль и направление вектора скорости точки в пространстве.   - углы, которые образует вектор скорости точки с осями координат.

 

Определение ускорения точки

 

                                                                                  (2.6)

 

 

 

Следовательно

 

(2.7)

или

 

Таким образом, проекции ускорения на оси координат равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени.

 

Модуль и направление ускорения

 

     (2.8)

Где   - углы, которые образует вектор полного ускорения точки с осями координат

 

Движение точки в плоскости

 

 

Движение точки по прямой

2. Определение скорости точки при естественном способе задания движения

 

где

 

 

                                                                                 (2.9)

Единичный орт показывает изменение направления вектора скорости точки в случае ее движения по криволинейной траектории

                                                                        (2.10)

 

  

3. Естественные координатные оси

 

Особенностью данной системы отсчета является то, что начало отсчета всегда находится в точке М и вся система движется вместе с точкой

4. Вектор кривизны кривой в данной точке

 

(2.11)     (2.12) модуль вектора кривизны

(2.13)

 

         Таким образом, вектор кривизны кривой в данной точке всегда направлен  по нормали и модуль вектора обратно пропорционален радиусу кривизны.

 

5. Определение ускорения точки при естественном способе задания движения

 

                                     Так как,       ,  то

 

 

 

                                                        (2.14)

 

                                                                         (2.15)

 

                       -   нормальное ускорение точки                    (2.16)

 

                -     касательное ускорение точки                (2.17)

 

                 -        полное ускорение точки                     (2.18)

 

Частные случаи движения точки

 

Прямолинейное движение

 

 

 

Касательное ускорение характеризует изменение скорости по численной величине

 

Равномерное криволинейное движение

 

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению

 

Равнопеременное криволинейное движение

 

 

 

                                                v= v_o + a_ t           

 

 

1. Поступательное движение твердого тела

 

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая проведенная в этом теле, перемешается, оставаясь параллельной самой себе.

 

Поступательное движение не значит прямолинейное:

    

ТЕОРЕМА: при поступательном движении все точки тела описываютодинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

 

(3. 1)      (3. 2)