5.3. Знаходження числових значення параметрів моделі об’єкта чисельним методом
Чисельні методи знаходження параметрів моделі заданої структури
В
практиці побудови моделей за
експериментальними значеннями кривої
розгону (або імпульсної перехідної
характеристики) може бути застосований
метод найменших квадратів (МНК). Згідно
з цим методом за виглядом експериментальної
кривої розгону обирають структуру
функції передачі
,
для якої встановлюють криву розгону і
формують суму квадратів різниць між
теоретичними
та експериментальними
значеннями кривої розгону у задані
моменти часу
де
N
–
кількість експериментальних значень
кривої розгону;
вектор
параметрів заданої функції передачі.
Згідно з МНК параметри функції передачі мають бути такими, щоб забезпечити найменше значення суми:
.
Таким
чином, задача зводиться до пошуку значень
параметрів заданої функції передачі,
при яких забезпечується мінімальне
значення функції
.
Її можна вирішувати аналітично або
чисельним методом. При аналітичному
методі по кожному з шуканих параметрів
знаходять похідні від функції
і прирівнюють їх до нуля. В результаті
отримують систему n
рівнянь (де n
– кількість невідомих параметрів),
розв’язок, якої дозволяє знайти значення невідомих параметрів.
При чисельному методі знаходження параметрів моделі зручно скористатись пакетом Мatlab, в якому є програми, що дозволяють створювати функції передачі різної структури, знаходити їх перехідні функції, вирішувати оптимізаційні задачі. Параметри обраної моделі можна знайти, застосовуючи функцію fminsearch. Головна програма записана у script-файлі використовує функцію summ, в якій описано функцію s= суму квадратів відхилення між експериментальними та розрахунковими значеннями перехідних функцій. В основній програмі викликається функція fminsearch, яка знаходить такі значення параметрів моделі, при яких забезпечується мінімум функції summ. Пошук параметрів моделі здійснюється ітераційно за алгоритмом Нелдера-Міда. Знайдені за допомогою fminsearch параметри, записані в змінну х, і є шуканими параметрами заданої функції передачі.
Програма в середовищі Matlab (функція) для знаходження параметрів моделі
function s=summ(x);
tek=[0 15 40 65 90 115 140 162 180 200];
Tek=[160 160.21 162.28 165.19 167.59 169.06 169.75 170.08 170.20 170.23];
Tzavd=160;
Tmax=max(Tek);
dT=Tmax-Tzavd;
dx=8;
hek=(Tek-Tzavd)/dT;
t_i=[0:200];
hek_i=interp1(tek,hek,t_i);
T1=x(1);
%% ПОБУДОВА КРИВОЇ РОЗГОНУ ЗА РОЗРАХОВАНИМИ к і T
W1=tf(1, [T1 1]);
W=W1^3;
hroz=step(W,t_i);
s=sum((hroz'-hek_i).^2);
Програма в середовищі Matlab для знаходження параметрів моделі та побудови графіка порівняння експериментальної та розрахованої кривих розгону
clear,clc
tek=[0 15 40 65 90 115 140 162 180 200];
Tek=[160 160.21 162.28 165.19 167.59 169.06 169.75 170.08 170.20 170.23];
Tzavd=160;
Tmax=max(Tek);
dT=Tmax-Tzavd;
dx=8;
hek=(Tek-Tzavd)/dT;
t_i=[0:200];
hek_i=interp1(tek,hek,t_i);;
%% ЗНАХОДЖЕННЯ к і Т ЧИСЛОВИМИ МЕТОДАМИ
x0=[1];
x=fminsearch('summ',x0);
T1=x(1)
k=dT/dx
%% ПОБУДОВА КРИВОЇ РОЗГОНУ ЗА РОЗРАХОВАНИМИ к і Т
W1=tf(1, [T1 1]);
W=W1^3;
hroz=step(W,t_i);
y=hroz*dx*k+Tzavd;
ye=hek_i*dx*k+Tzavd;
del=max(abs(y'-ye))/dT*100
sig=sqrt(sum((y'-ye).^2)./length(t_i))
%% ПОРІВНЯННЯ КРИВОЇ РОЗГОНУ ЗНАЙДЕНОЇ ЧИСЛОВИМИ МЕТОДАМИ І ЕКСПЕРЕМЕНТАЛЬНОЇ
plot(t_i,y,'k',tek,Tek,'ok');grid;
title('Porivnjannja kruvux rozhony');
xlabel('t,c');ylabel('T,^oC');
legend('rozrahovana kryva rozgonu','eksperementalna kryva rozgonu')
Результат виконання програми:
T1 =23.6089
k =1.2787
del =2.1572
sig =0.1359
Отже, функція передачі об’єкту каналом переміщення РО на трубопроводі пари – температура в пропарювальному котлі матиме вигляд:
Рис.5.3. Експериментальна та розрахована криві розгону по температурі в пропарювальному котлі, отримані переміщенням РО на паропроводі на 8%:
— - розрахована; о – експериментальна