Функция двух переменных

Если каждой упорядоченной паре чисел (x, y) из некоторой области D (x, y) соответствует единственное число Z, то Z называют функцией двух переменных x и y, x и y – независимые переменные или аргументы, D – область определения функции Z , пишут .

Определение: Число B называют пределом функции в точке , если для любого существует , такое, что при всех x и y, удовлетворяющих условиям и , справедливо неравенство . Пишут .

Определение: Частной производной по переменной x функции называют предел отношения: , a по переменной y – ; где ,

. Обозначают , , , .

• Для функции найти частные производные функции.

;

.

Частные производные второго порядка функции имеют вид:

;

;

;

.

• Найти частные производные второго порядка функции .

Решение: .

,

очевидно, что = .

Теорема (необходимое условие экстремума): Если точка является точкой экстремума функции , то или хотя бы одна из них не существует. Точки, для которых это условие выполняется, называются стационарными.

Теорема (достаточное условие экстремума): Пусть имеет непрерывные частные производные до третьего порядка в области, содержащей стационарную точку . Тогда:

1. если , то – является точкой экстремума, причем если А < 0 (С < 0), то – точка максимума, если А > 0 (С > 0), то – точка минимума;

2. если , то в точке нет экстремума;

3. если , то экстремум может быть, а может и не быть. Необходимо дополнительно исследовать функцию.

Где , , , в точке .

• Исследовать функцию на экстремум.

1) Найдем стационарные точки , . Пользуясь необходимыми условиями экстремума, найдем стационарные точки:

,

откуда .

2) Исследуем точки и , для этого составим

, , , . , так как , то в точке нет экстремума. , так как и А > 0, то точка – точка минимума. , (А = 6 > 0).

Контрольная работа № 2

Задание № 1. Вычислить интегралы:

№	а	б	в
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10

Задание № 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

2.1	у = х2 – 5х + 6 ; у = х - 2	2.6	у = х2 – 6х + 8; у = 2 - х
2.2	х2 – 7х + 10; у = 2 – х	2.7	у = х2 – 9х +14; у = 4 – 2х
2.3	у = х2 - 10х + 16; у = 4 – 2х	2.8	у = х2 – 7х + 12; у = 6 – 2х
2.4	у = х2 – 6х + 5; у = -х – 1	5.9	у = х2 - 10х + 16; у = 4 – 2х
2.5	у = х2 – 9х + 18; у = 8 – 2х	2.10	у = х2 + 3х + 1; у = 4х + 3

Задание № 3. Найти область сходимости степенного ряда.

3.1 ; 3.6 ;

3.2 ; 3.7 ;

3.3 ; 3.8 ;

3.4 ; 3.9 ;

3.5 ; 3.10

Задание № 4. Решить дифференциальное уравнение

№	а	б	в
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10

Задание № 5. Даны вершины треугольника АВС. Найти:

1. уравнение стороны АВ;

2. уравнение высоты СН;

3. уравнение медианы АМ;

4. координаты точки N - точки пересечения медианы АМ и высоты СН;

5. уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;

6. длину высоты СН (как расстояние от точки до прямой).

Выполнить чертеж.

5.1	А(-2;4), В(3;1), С(10;7).	5.6	А(-2;-3), В(1;6), С(6;1).
5.2	А(-3;-2), В(14;4), С(6;8).	5.7	А(-4;2), В(-6;6), (6;2).
5.3	А(1;7), В(-3;-1), С(11;-3).	5.8	А(4;-3), В(7;3), С(1;10).
5.4	А(1;0), В(-1;4), С(9;5).	5.9	А(4;-4), В(8;2), С(3;8).
5.5	А(1;-2), В(7;1), С(3;7).	5.10	А(-3;-3), В(5;-7), С(7;7).

Задание № 6. Решить задачу.

6.1	Среди 10 лотерейных билетов 6 выигрышных. Наудачу взяли 4 билета. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.
6.2	Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность того, что оба раза появится одинаковое число очков.
6.3	В коробке 30 цветных шаров, 10 из которых красных. Наудачу берут 5 шаров. Найти вероятность того, что среди извлечённых шаров нет красных.
6.4	В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зелёных шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зелёный, 2 голубых и 3 красных шара?
6.5	Подбрасываются два игральных кубика. Определить вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях больше 8, а произведение есть нечетное число.
6.6	Среди 25 студентов группы, в которой 17 девушек, разыгрывается 7 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки.
6.7	На плоскости нарисованы две концентрические окружности, радиусы которых 3 см и 5 см. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное этими окружностями?
6.8	В урне 6 красных и 9 синих шаров. Из урны извлекли один шар и отложили в сторону. Этот шар оказался красным. После этого из урны вынимают ещё один шар. Найти вероятность того, что второй шар так же красный.
6.9	Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки.
6.10	Среди 10 лотерейных билетов 6 выигрышных. Наудачу взяты 4 билета. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.

Список литературы

1. Общий курс высшей математики для экономистов (под общей ред. Ермакова В. И.). М.: ИНФРА. - М, 2008.

2. Сборник задач по высшей математике для экономистов (под общей ред. Ермакова В. И.). М.: ИНФРА. - М, 2008.

3. Мантуров О.В. Курс высшей математики: Ряды. Уравнения математической физики. Теория функций комплексной переменной. Численные методы. Теория вероятностей: Учебник для втузов: Высш.шк.,1991.-448с.

4. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов.-13-е изд. - М.: Наука,1987.-360 с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учебное пособие для втузов: В 2-х т. Т.1.Т.2.-Стереотип.изд. .-М: Интеграл-Пресс, 2000.-415с.

6. Попов А.М., Сотников В.Н. Высшая математика для экономистов: учебник для бакалавров. - М: Изд. Юрайт, 2011.