Методические указания и решение типового варианта контрольной работы № 1
Системы линейных алгебраических уравнений
Система
трех линейных уравнений с тремя
неизвестными
имеет вид
где
- коэффициенты системы,
-
свободные члены
.
Определитель третьего порядка Δ,
составленный из коэффициентов при
неизвестных, называется определителем
системы.
Если Δ ≠ 0, то система является совместной и имеет единственное решение, которое выражается формулами Крамера:
, где
- определители третьего порядка,
получаемые из определителя системы Δ
заменой первого, второго или третьего
столбца соответственно столбцом
свободных членов
.
Определителем третьего порядка называется число, равное
Проверить совместность системы линейных уравнений и в случае совместности решить её по формулам Крамера. Выполнить проверку.
Решение.
Вычислим определитель системы
Так
как Δ ≠ 0, то система уравнений совместна
и имеет единственное решение, которое
может быть найдено по формулам Крамера.
Для этого найдем
:
.
Подставляя
найденные значения определителей в
формулы Крамера, получим искомое решение
системы:
.
Выполним проверку полученного решения. Для этого в каждое уравнение системы подставим найденные решения:
Т.е. каждое уравнение системы при подстановке полученных решений обращается в верное равенство, то система решена правильно.
Ответ:
Предел функции в точке
Определение:
Последовательностью называется функция
натурального аргумента
,
,
,…,
,…,
,…
. Причем если
,
то
следует
за
,
независимо от того, больше он его или
меньше.
Последовательность
чисел называется сходящейся к числу
,
если для любого положительного, сколь
угодно малого числа
(эпсилон) найдется такой номер
,
что для всех номеров
будет
выполняться неравенство
.
Пишут
.
Геометрический
смысл предела последовательности
состоит в том, что за пределами
– окрестности точки
находится лишь конечное число членов
последовательности
,
а внутри этой окрестности находится
бесконечное множество членов
последовательности и при
число
будет сгустком точек, соответствующих
членам последовательности.
Определение:
Число
называется пределом функции
в точке
,
если для любого
сколь угодно малого положительного
числа
найдется
положительное число
(дельта),
что для всех
,
удовлетворяющих неравенству
,
выполнится неравенство
.
Пишут
.
Теоремы
о пределах функций: если существует
и
,
то
;
;
;
при
.
При вычислении пределов используются два замечательных предела:
(первый
замечательный предел);
(второй
замечательный предел).
Определение:
Функция
называется бесконечно малой в точке
,
если
.
Определение:
Функция
называется бесконечно большой в точке
,
если
.
Теорема:
Если
– бесконечно большая функция, то
– бесконечно малая функция. Если
– бесконечно малая и
– бесконечно малая функция в точке
и
,
то
и
эквивалентны. Пишут
~
.
Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя.
|
|
/выносим
в числителе и знаменателе старшие
степени переменной, затем производим
возможные сокращения/
т.к.
при
значения дробей
стремится к 0.
=
/умножим числитель и знаменатель на
выражение
;
знаменатель разложим на множители/
;
=
.
Определение:
Функция
называется непрерывной в точке
,
если существует предел функции в точке
,
равный значению функции в точке
,
т. е.
.
Иными словами, функция непрерывна в точке , если выполняются равенства:
(*)
Односторонние пределы функции в точке равны значению функции в точке .
Определение: Точка называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные, но неравные односторонние пределы функции в точке . Разность между правым и левым пределами называется скачком.
Определение:
Точка
называется точкой разрыва второго рода,
если хотя бы один из односторонних
пределов равен
или не существует.
Определение: Точка называется точкой разрыва устранимого, если существует предел функции в этой точке, не равный значению функции в точке .
Исследовать функцию на непрерывность и построить график:
.
Решение:
Функция
является непрерывной на каждом из
промежутков, поэтому подозрительными
на разрыв являются точки
и
.
Исследуем каждую точку.
. Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции при
,
значение
функции в точке
равно:
.
Следовательно, в точке
функция является непрерывной, так как
.
.
Так как односторонние пределы конечны, но не равны, то точка является точкой разрыва первого рода.
Скачок
равен
.
Производная функции, её приложение
Определение:
Пусть функция
задана на некотором множестве
.
Зафиксируем значение аргумента
и придадим ему приращение
,
не выводящее значение аргумента за
пределы множества
,
т. е.
.
Тогда соответствующее приращение
получит и сама функция, которое равно
разности нового и старого значений
функции:
.
Если существует конечный предел отношения
приращения функции к приращению аргумента
при
,
то он называется производной функции
в точке
.
Пишут
,
или
.
(6)
Если
существует во всех точках множества
,
то
является функцией от
.
Таблица производных основных элементарных функций
Если
является дифференцируемой, то выполняются
равенства:
где
где
.
Основные правила дифференцирования:
Если
и
,
т. е.
,
то
,
где и и φ
– дифференцируемы.Если для функции
существует обратная дифференцируемая
функция
,
то
.
Найти производные функций
а)
;
б)
;
в)
.
Решение:
1) .
Преобразуем
функцию
б)
в)
Определение:
Производной второго порядка функции
называется производная от первой
производной, т. е.
.
Обозначают
.
Определение:
Производной n-го
порядка функции
называют производную от производной
(n – 1)-го порядка данной
функции. Обозначают
.