Вопрос 28. Первообразная. Теорема о множестве производных данной функции

Определение. Функция называется первообразной функции на данном интервале, если для каждого значения x, принадлежащего этому интервалу, справедливо равенство .

Теорема (о множестве первообразных данной функции).

Если функция имеет на данном интервале первообразную , то на этом интервале функция имеет бесконечное множество первообразных, причем каждую из них можно представить в виде , где С – некоторая постоянная (то есть число или выражение, не содержащее переменной x).

Пример. Найти первообразную функции , удовлетворяющую условию .

Решение. Так как , то любая первообразная данной функции имеет вид , где С – некоторая постоянная.

По условию , поэтому , откуда получаем .

Ответ: .

Вопрос 29. Неопределенный интеграл, его свойства

Определение 2. Множество всех первообразных функции на данном интервале называется неопределённым интегралом от функции на этом интервале.

Согласно теореме о множестве первообразных данной функции, ,

где – одна из первообразных функции , С – произвольная постоянная (она называется постоянной интегрирования).

Теорема (достаточное условие интегрируемости функции).

Если функция непрерывна на интервале , то существует интеграл на интервале .

Свойства неопределенного интеграла

1°. .

2°. .

3°. , если

4°. .

Вопрос 30. Формулы интегрирования

1
2		3
4		5
6		7
8		9
10		11
12		13
14		15

Вопрос 31. Методы вычисления неопределенных интегралов.

Непосредственное интегрирование

Непосредственным интегрированием называют такой метод вычисления неопределенного интеграла, при котором данный интеграл сводят к алгебраической сумме табличных интегралов путем преобразования подынтегральной функции и применения свойств 3° и 4°.

Пример. .

Вопрос 32. Методы вычисления неопределенных интегралов. Интегрирование подстановкой

Пример. Вычислить интеграл .

1. Ввести новую переменную:

2. Найти дифференциал новой переменной:

.

3. Из предыдущего равенства выразить дифференциал старой переменной: .

4. Произвести замену переменной под знаком интеграла:

.

Замечание. Если после всех преобразований под знаком интеграла осталась и старая переменная, то или подстановка выбрана неудачно, или данный интеграл вообще нельзя вычислить методом подстановки.

5. Вычислить интеграл от новой переменной:

Произвести обратную замену переменной в выражении первообразной: