Вопрос 21. Производные высших порядков. Формула Тейлора

Для более точных вычислений значений функции используют формулу Тейлора:

или формулу Маклорена (получается из формулы Тейлора при ):

При этом предполагается, что данную функцию можно дифференцировать бесконечно много раз.

По определению, , то есть -я производная данной функции – это производная ее -й производной.

Вопрос 22. Типы монотонности функции. Достаточные условия монотонности функции

Определение 1. Функция называется возрастающей на данном промежутке, если для любых двух значений аргумента, взятых из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение 2. Функция называется убывающей на данном промежутке, если для любых двух значений аргумента, взятых из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Определение 3. Функция называется постоянной на данном промежутке, если для любого значения аргумента, взятого из этого промежутка, функция принимает одно и то же значение.

Теорема 1 (достаточное условие монотонности функции).

Пусть функция имеет на интервале производную . Тогда:

если при любом значении , то возрастает на интервале ;

если при любом значении , то убывает на интервале ;

если при любом значении , то является постоянной на интервале .

Вопрос 23. Точки минимума и точки максимума функции. Необходимое условие экстремума функции

Определение 4. Точка называется точкой локального минимума функции , если для всех значений , достаточно близких к и не равных , выполняется условие .

Определение 5. Точка называется точкой локального максимума функции , если для всех значений , достаточно близких к и не равных , выполняется условие .

Определение 6. Точка называется точкой экстремума функции , если она является точкой минимума или точкой максимума.

Теорема 2 (необходимое условие экстремума функции). Если точка является точкой экстремума функции и значение определено, то .

Замечание. Может оказаться, что в точке экстремума производная не определена.

Определение 6. Точка называется критической точкой первого рода функции , если или значение не определено.

Замечание. В критической точке первого рода функция может иметь экстремум, но не обязательно.

Вопрос 24. Точки минимума и точки максимума функции. Достаточные условия экстремума функции

Теорема (достаточные условия экстремума функции).

Пусть функция определена и непрерывна в некоторой окрестности точки и имеет производную во всех точках этой окрестности, кроме, может быть, самой точки . Тогда:

если при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то ‒ точка минимума;

если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то ‒ точка максимума;

если при переходе через точку производная не меняет знак, то в точке экстремума нет.