Вопрос 16. Вторая производная. Физический смысл первой и второй производных

Определение. Второй производной функции называется производная ее первой производной: .

Пример 1. Найти первую и вторую производные функции .

Решение: ,

.

Ответ: , .

Механический смысл первой и второй производных состоит в следующем: если функция имеет производные первого и второго порядка в точке , то ‒ мгновенная скорость изменения функции в точке , ‒ мгновенное ускорение функции в точке .

В частности, в механике: если ‒ путь, пройденный телом за промежуток времени , то ‒ мгновенная скорость тела в момент t, - мгновенное ускорение тела в момент t.

Пример 2. Тело движется прямолинейно по закону . Найти: а) скорость тела в момент ; б) ускорение тела в момент .

Решение

а)

.

б)

.

Ответ: а) ; б) .

Вопрос 17. Геометрический смысл производной

Определение. Касательной к данной кривой в данной ее точке называется прямая, которая является пределом секущей при условии, что точка стремится к точке по кривой : .

Теорема. Если функция имеет производную в точке , то существует касательная к кривой в ее точке , причем значение численно равно тангенсу угла между этой касательной и осью абсцисс: (см. рис. 1 стр. 11).

Замечание. Число называется угловым коэффициентом касательной.

Пример. Найти угловой коэффициент касательной к кривой в точке ее пересечения с осью ординат.

Решение: Так как точка лежит на оси , то .

Угловой коэффициент касательной к кривой в ее точке вычисляется по формуле .

.

Ответ: .

Вопрос 18. Уравнение касательной к графику функции

Теорема. Уравнение касательной к кривой в ее точке имеет вид .

Пример. Составить уравнение касательной к кривой в точке .

Решение: Уравнение касательной к кривой в ее точке имеет вид .

Из условия следует, что , .

Тогда ,

,

Уравнение касательной имеет вид , или .

Ответ: .

Вопрос 19. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала

Определение. Дифференциалом функции в точке называется произведение , где ‒ приращение аргумента.

Пример. Найти , если .

Решение. По определению дифференциала, .

Так как , то

.

Тогда

Ответ: .

Теорема о геометрическом смысле дифференциала. Дифференциал функции в точке численно равен приращению ординаты точки касательной к кривой в ее точке , соответствующему приращению аргумента функции (см. рис. 1 стр. 11).

Вопрос 20. Применение дифференциала функции для приближенных вычислений

Определение. Дифференциалом функции в точке называется произведение , где ‒ приращение аргумента.

Теорема. Если , то при малых значениях приращения аргумента функции ее дифференциал является главной частью ее приращения.

По определению производной .

По определению предела функции из этого равенства следует, что , где -- бесконечно малая функция при , то есть .

Если , то .

Это значит, что при малых значениях слагаемое пренебрежимо мало в сравнении со слагаемым , то есть можно считать, что , или .

Теорема доказана.

Замечание. Из равенства получаем:

.

Эту формулу используют для приближенных вычислений значений функции. На практике ее удобнее представить в виде

,

где выражение и значение определяются условием задания, а значение выбирается произвольно с учетом двух условий: во-первых, должно как можно меньше отличаться от , во-вторых, значения и должны легко вычисляться без таблиц или калькулятора.

Пример. Вычислить приближенно .

Решение

, .

Пусть . Тогда ,

,

.

Ответ:

Для сравнения: вычисления на микрокалькуляторе дают результат