Вопрос 9. Типы точек разрыва функции
Определение 5. Точка
называется точкой устранимого разрыва
функции
,
если левый и правый пределы
при
конечные и равные, но не равны значению
функции в точке
:
.
Определение 6. Точка
называется точкой разрыва первого
рода функции
,
если левый и правый пределы
при
конечные, но не равны между собой:
.
Определение 7. Точка
называется точкой разрыва второго
рода функции f
,
если хотя бы один из односторонних
пределов
при
является бесконечным:
или (и)
.
Пример 2. Исследовать на непрерывность и точки разрыва функцию
Решение. Так как на промежутках
и
данная функция совпадает с непрерывными
функциями
и
,
то она непрерывна на этих промежутках.
Чтобы установить, является ли точка
точкой разрыва, и определить тип разрыва,
вычислим пределы:
,
.
Так как
,
то точка
является точкой разрыва второго рода
функции
.
Ответ. На промежутках
и
данная функция непрерывна;
– точка устранимого разрыва;
– точка разрыва второго рода.
Пример 3. Исследовать на непрерывность и точки разрыва функцию
Решение. Так как на промежутках
,
и
данная функция совпадает с непрерывными
функциями
,
и
,
то она непрерывна на этих промежутках.
Чтобы установить, являются ли точки
и
точками разрыва, и определить тип
разрыва, вычислим пределы:
,
.
Так как значение
не определено, то
,
следовательно, точка
является точкой устранимого разрыва
функции
.
,
.
Так как левый и правый пределы
при
конечные и
,
то точка
является точкой разрыва первого рода
функции
.
Ответ. На промежутках , и данная функция непрерывна; – точка устранимого разрыва; – точка разрыва первого рода.
Пример 4. Исследовать на
непрерывность и точки разрыва функцию
.
Решение. Так как функции
и
непрерывны при
и
при
и
,
то на промежутках
,
и
данная функция непрерывна.
Точки и являются точками разрыва, так как в этих точках данная функция не определена.
Чтобы определить тип разрыва, вычислим пределы:
,
.
Так как значение
не определено, то
,
то точка
является точкой устранимого разрыва
функции
.
(при
выполняются
условия
и
,
поэтому
).
(при
выполняются условия
и
,
поэтому
).
Так как левый и правый пределы
при
бесконечные , то точка
является точкой разрыва второго рода
функции
.
Ответ. На промежутках , и данная функция непрерывна; – точка устранимого разрыва; – точка разрыва второго рода.
Примеры вычисления пределов
.
.
.
По формуле
получаем
Тогда
.
.
.
.
.
.
.
Вопрос 10. Определение производной. Примеры вычисления производных на основе определения
Определение 1. Производной данной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению ее аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (если этот предел существует).
Символически определение записывают в виде
или
.
Определение 2. Действие нахождения производной данной функции называется дифференцированием данной функции.
Определение 3. Функция называется дифференцируемой в данной точке, если она имеет производную в этой точке.
Определение 4. Функция называется дифференцируемой на данном интервале, если она имеет производную в каждой точке этого интервала.
Пример. Вычислить производную
функции
.
Решение: Так как
,
то
,
поэтому
.
Ответ:
.