Ответы на теоретические вопросы

программы экзамена по математике

Вопрос 1. Числовая функция.

Способы задания и основные свойства функций

Определение 1. Числовой функцией называется соответствие между двумя числовыми множествами, при котором каждому элементу первого множества соответствует единственный элемент второго множества.

Первое множество называется областью определения функции.

Способы задания функции

1. Аналитический способ задания функции.

Функция задается уравнением вида , где – выражение с переменной x. Это уравнение позволяет по заданному значению аргумента найти соответствующее значение функции.

Примеры: , , .

Замечание 1. При аналитическом задании функции естественной областью определения функции называется множество всех значений аргумента, для которых определено данное выражение с переменной.

Замечание 2. Одно и то же уравнение , рассматриваемое на разных множествах, задает разные функции, свойства которых могут существенно различаться. Поэтому при задании функции, кроме аналитического выражения, указывают и область определения функции. Если же в условии область определения не задана, то по умолчанию рассматривают естественную, то есть максимально возможную, область определения функции.

2. Графический способ задания функции.

О пределение 2. Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых являются значениями аргумента, а ординаты – соответствующими значениями функции.

График функции очень наглядно представляет ее основные свойства. Кроме того, не каждую функцию, заданную графически, можно задать и аналитически.

Если график функции уже построен, то по заданному значению аргумента можно найти соответствующее значение функции.

3. Табличный способ задания функции.

Пример.	x	1,2	3,4	5,5	8,7	12
	y	-2	0,8	3,7	11	0,1

Замечание 1. Табличным способом можно задать функцию только в том случае, когда количество значений ее аргумента конечное и не очень большое.

Обычно мы составляем таблицу некоторых значений функции при построении ее графика.

4. Словесный способ задания функции.

В этом случае закон соответствия между элементами данных множеств задается словесным описанием.

Пример. На множестве натуральных чисел задана функция следующим образом: y ‒ количество делителей данного натурального числа x.

Задать эту функцию аналитически нельзя, но можно найти ее значение для любого значения аргумента, например: , , , .

Основные свойства числовых функций

Определение 3. Функция называется четной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение тоже принадлежит области определения и выполняется равенство .

Определение 4. Функция называется нечетной, если для любого значения x, принадлежащего области определения, значение тоже принадлежит области определения и выполняется равенство .

Замечание 1. Если функция является четной, то ее график симметричен (сам себе) относительно оси ординат. Обратное утверждение тоже верно, то есть если график функции симметричен относительно оси ординат, то функция является четной.

Замечание 2. Если функция является нечетной, то ее график симметричен (сам себе) относительно начала координат. Обратное утверждение тоже верно, то есть если график функции симметричен относительно начала координат, то функция является нечетной.

Замечание 3. Существует единственная функция, являющаяся одновременно четной и нечетной. Это функция . Графиком этой функции является ось абсцисс. Она симметрична (сама себе) и относительно оси ординат и относительно начала координат.

Замечание 4. Функция может не быть ни четной, ни нечетной. В этом случае график ее не является симметричным относительно оси ординат, но может иметь другие оси симметрии. График не является также симметричным относительно начала координат, хотя может иметь другие центры симметрии.

Примеры:

, , — четные функции;

, , — нечетные функции;

, — не четные и не нечетные функции.

Определение 5. Функция называется возрастающей на данном промежутке, если для любых двух значений аргумента, взятых из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

Определение 6. Функция называется убывающей на данном промежутке, если для любых двух значений аргумента, взятых из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Определение 7. Функция называется постоянной на данном промежутке, если для всех значений аргумента, взятых из этого промежутка, функция принимает одно и то же значение.

Определение 8. Функция называется монотонной на данном промежутке, если на этом промежутке она только возрастает, или только убывает, или является постоянной.

Примеры:

Функция возрастает на промежутке .

Функция убывает на промежутках и .

Функция , убывает на промежутке и возрастает на промежутке .

Определение 9. Функция f(x) называется ограниченной, если существует такое положительное число m, что для всех значений аргумента х, взятых из области определения, выполняется условие .

Примеры: функции , , являются ограниченными, так как , , .

Функции , не являются ограниченными, так как принимают значения, большие любого наперед заданного числа m.

Определение 10. Функция называется периодической, если существует число такое, что для любого значения x, взятого из области определения функции, выполняются равенства: и .

Число T называется периодом функции .

Замечание 1. Если число Т является периодом функции , то и любое число Т∙n, n Z, тоже является ее периодом, поэтому обычно указывают наименьший положительный период функции.

Замечание 2. График периодической функции состоит из повторяющихся частей, поэтому достаточно построить график на любом промежутке длиной в период, а затем повторить построенный отрезок графика нужное число раз.

Примеры: функции и имеют наименьший положительный период 2, функции и имеют наименьший положительный период .