5.6 Проверка значимости коэффициента корреляции

Для простой линейной модели регрессии п осле проведения эксперимента необходимо проверить существует ли статистическая связь между независимой переменной и зависимой переменной . Для этого производят оценку коэффициента корреляции (5.34) и проверяют значимость величины коэффициента корреляции . Положим, коэффициент корреляции генеральной совокупности равен . Если между переменным и отсутствует статистическая связь, то = 0. Тогда следует ожидать, что и будет близок к нулю. Если величина незначимо отклоняется от нуля, то следует, что = 0; если величина значима, то 0.

В результате возникает задача проверки гипотезы H₀ о том, что = 0 против сложной гипотезы H₁ о том, что 0. Решение об истинности той или иной гипотезы принимается на основе анализа оценки коэффициента корреляции .

Плотность распределения вероятностей оценки имеет сложный вид [4, стр.50]. Однако, если случайные величины х и у распределены по нормальному закону и не коррелированы ( = 0), то случайная величина

(5.40)

распределена по закону Стьюдента с степенью свободы.

Для проверки гипотезы H₀ , проводятся следующие вычисления.

1. По уровню значимости ищется порог , который определяет критическую область {(- , - ) , ( , )}, удовлетворяющую равенству, (Рис. 5.2):

, (5.41)

2. Вычисляется статистика , затем вычисляется статистика T.

3. Производится сравнение статистики T с порогом .

Если | T | > | |, тогда гипотеза H₀ отвергается. При этом допускается ошибка в 100 случаях из 100 экспериментов. Если | T | < , гипотеза H₀ не отвергается. При 0 применяется преобразование Фишера. В этом случае из физических соображений выбирается величина и проверяется гипотеза H₀ о том, что , против односторонней альтернативной гипотезы H₁ о том, что . Для проверки гипотезы H₀ против альтернативной гипотезы H₁ применяется статистика [9, стр.195]

,

которая имеет t – распределение с n-2 степенями свободы.

Критическое значение по требуемому уровню значимости ищется как решение уравнения``

где – плотность вероятности t – распределения.

Затем вычисляется статистика Т и сравнивается с порогом . Если Т > , гипотеза H₀ отвергается.

При n 20 статистика

(5.42)

распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией , [4, стр. 50].

Порог ищется как решение уравнения

.

5.7 Значимость коэффициента детерминации

Ранее был введен коэффициент детерминации = , определяющий относительный вклад дисперсии оценки зависимой переменной в оценку общей дисперсии. Оценки и являются случайными величинами. Отношение этих величин будет также случайной величиной.

Проверим гипотезу Н₀ о том, что все параметры (j=0,…,m). Это значит, ни одна из функций не оказывает влияния на зависимую переменную y.

Альтернативной гипотезой Н₁ будет утверждение, что хотя бы один параметр оказывает влияние на зависимую переменную y. В этом случае проводится односторонняя процедура проверки гипотезы Н₀ против альтернативной гипотезы Н₁.

Для проверки значимости коэффициента детерминации используется статистика [3]

(5.43)

которая распределена по закону Фишера (F – распределение) с числом степеней свободы и , - количество учитываемых объясняющих переменных.

По уровню значимости и таблицам F – распределения определяется порог и критическая область отклонения гипотезы Н₀, в то время, как она верна. Если вычисленная величина , гипотеза Н₀ отвергается. Условие означает, что коэффициент детерминации значимо отличается от нуля, т.е. вклад хотя бы одного параметра в построение линии регрессии значителен.