10. Расче времени теплотехнологической обработки материалов в реакторе

Температурное поле тела – зависимость температуры от координат и времени записывается в виде t (x, y, z, τ). Одномерное температурное поле t (x, τ) имеет место при симметричном нагреве тел простой формы. Начало отсчета координаты х = 0 принимается в центре симметрии тела через R обозначаем расчетный размер тела. Обобщенный размер тел Rυ = R/K = V/F – отношение их объема к обогреваемой поверхности. (К = 1 для пластины, К = 2 для цилиндра, К = 3 для тора). записи t(R, τ), t(0, τ), t(x, 0) читаются как температура на обогреваемой поверхности в момент времени τ, температура в каждой точке х в начальный момент времени τ = 0. решение данной задачи на основе уравнения Фурье в общем виде представляет большую сложность. Поэтому в частных случаях можно ограничиться или только внешним теплообменом или только внутренним теплообменом. Выбор зависит от того, чем лимитируется процесс нагрева.

Отношения внутреннего термического сопротивления нагреваемого тела R/λ к внешнему термическому сопротивлению среды 1/α называется числом Bi = α R/λ. Если число Bi ›10, т.е. термическое сопротивление тела на порядок больше термического сопротивления внешнего теплообмена, то время нагрева определяется переносом теплоты в материале тела. При Bi < 0,1 время нагрева определяется параметрами внешнего теплообмена.

Термическими тонкими называются тела, в объеме которых при нагреве можно пренебречь перепадами температуры, не выходя при этом за пределы допустимой погрешности инженерских расчетов(Bi < 0.1). температурное поле термически тонкого тела определяется практически только его средней по массе температурой tср, которую можно принимать и за температуру обогреваемой поверхности, и за температуру центра тела. Термически тонким также считается тело большого размера, если его нагревать медленно и соблюдать условие Bi < 0.1.

Время нагрева термически тонкого тела объемом V можно определить на основе уравнения баланса энергии

Vcρ∂t_ср/∂τ = qt_срF + q_υV, (6)

В левой части равенства указано приращение энтальпии тела, в правой – поступление энергии из среды через площадь поверхности тела за единицу времени и выделение теплоты от внутренних источников тела.

Если термически тонкое тело с постоянными коэффициентами и начальной температурой t⁰ нагревалось конвекцией в среде t_г = cons`t при α = cons`t, т.е. qt_ср = α(t_г – t_ср), то интегрирование (6) при q_υ = 0 дает:

τ = (cρR_υ/ α) ln[(t_г – t₀)/(t_г - t_ср)], (7)

Vcρ∂t_ср/∂τ = qt_срF = α (t_г - t_ср)F, V/F = Rυ

cρ R_υ∂t_ср = α (t_г - t_ср) ∂τ

cρ R_υ∂t_ср/( t_г - t_ср) = α ∂τ

cρ R_υ∫∂t_ср/( t_г - t_ср) = α ∫∂τ

- cρ R_υ∫∂ ( t_г - t_ср) /( t_г - t_ср) = α ∫∂τ

- cρ R_υ∫ln( t_г - t_ср) - ln( t_г – t₀) = ατ

cρ R_υ ln(t_г – t₀/ t_г - t_ср) = ατ, (7)

Если тело нагревалось только излучением в среде с постоянной температурой, интегрирование (6) дает зависимость:

τ = [cρ R_υ/σ_прT³_г] [f_л(Ө) – f_л(Ө_о)], формула Старка, (8)

f_л = ¼(ln 1 + Ө/1 - Ө) +1/2 arctg Ө; Ө = T/T_г.

Для случая 0,1 < Bi > 1.0 нельзя пренебречь разницей между температурой поверхности тела t (R, τ) и средней температурой по массе t_ср(τ).

Для q и t_ср имеем зависимости

t_ср(τ) = t (R, τ) – qR/[λ(2 + k)], (9)

q = α (t_г - t_ср)[(2 + k)/(2+k+Bi)], (10)

Обозначим величину (2 + k)/(2+k+Bi) через М. Она называется коэффициент массивности тела.

Интегрирование (6) с учетом (10) дает

τ = (cρ R_υ/ αМ)ln (t_г – t₀₎/(t_г - t_ср), (11)

Поправка на массивность тела увеличивает расчетное время нагрева тела.