6.7. Расчет статически неопределимой рамы

Для заданной статически неопределимой рамы (рис. 27, а) с внешней нагрузкой , а = 2 м, кН, кН∙м.

Требуется:

1. Раскрыть статическую неопределимость, используя метод сил.

2. Построить эпюры: изгибающих моментов М, продольных N и поперечных Q сил.

3. По эпюре моментов показать деформированное состояние рамы.

4. Подобрать двутавровое сечение рамы, принимая = 240 МПа и коэффициент запаса п = 1,5.

5. Факультативно. Рассчитать эту же раму по предельным состояниям и определить общий коэффициент запаса прочности.

6. Сформулировать выводы.

Порядок решения.

1. Чертим в условном масштабе расчетную схему рамы по заданным параметрам.

2. Решая систему канонических уравнений, определяем неизвестные опорные реакции Х₁ и Х₂.

3. Строим исправленные эпюры М₁∙Х₁ и М₂∙Х₂.

4. Строим суммарную эпюру моментов М.

5. Дополнительно строим эпюры поперечных Q и продольных N сил.

6. Исследуя эпюру М, находим опасное сечение и подбираем безопасные размеры двутаврового сечения.

7. Факультативно. Рассчитываем эту же раму по методу предельных состояний и находим дополнительные резервы нагружения.

8. Формулируем выводы.

Решение.

1. Приводим расчетную схему к основной системе, заменяя опору на опорные реакции (рис. 27 а, б).

Основная система вместе с каноническими уравнениями соответствует расчетной схеме.

Канонические уравнения отражают ограничения, накладываемые на основную систему отброшенной опорой В или отсутствие горизонтальных и вертикальных перемещений сечения на опоре В.

2. Решаем канонические уравнения метода сил, коэффициенты которых ₁₁, ₁₂ = ₂₁, ₂₂ представляют перемещения сечения В от единичных сил Х₁ и Х₂, а грузовые коэффициенты _1F,_2F - перемещения того же сечения от заданных нагрузок.

Для вычисления коэффициентов используем метод графического перемножения эпюр (метод Верещагина) изгибающих моментов от единичных сил , и заданной нагрузки .

Ввиду простоты расчеты отдельно не приводятся (рис. 28 а – д).

;

;

;

3. Подставляем вычисленные значения коэффициентов в канонические уравнения и решаем их.

Проверка: 4,139qa-0,014qa-4,125qa=0

4. Строим исправленные эпюры М₁∙Х₁ и М₂∙Х₂ (Рис. 29 а, б).

Р ис.30 Рис.31

5. Суммарную эпюру моментов М строим, суммируя в соответствующих сечениях п значения:

; ; ,

М₃=М_3´=

,

,

.

Эпюра моментов и форма изогнутой оси рамы представлена на рис. 30,31.

6. Для полноты расчета построим эпюры N и Q обычным способом .

_{N1=N2=X1=-1,774qa,}

.

Аналогично: ,

Q₃=-X₁+qa=-1,774qa+qa=-0,774qa, ,

.

Эпюры N и Q представлены на рис. 32.

7. Исследуя эпюру М видим, что опасными будут сечения 3 и 3’, где

кНм = 41,1210³ Нм.

По условию .

Используя условие прочности, определим безопасные размеры двутаврового сечения:

или .

По таблице ГОСТ подбираем двутавр № 22a, у которого W = 254см³, А = 32,8 см².

Перенапряжение составит:

При этом соответственно уменьшится коэффициент запаса:

.