7.2. Выбор закона движения толкателя

При проектировании профиля кулачка выбор закона движения толкателя определяется главным образом требованиями, предъявляемыми технологическим процессом. В качестве закона движения можно принимать не только закон перемещения толкателя, но также законы изменения его скорости или ускорения. Однако на практике для проектирования в качестве исходного чаще всего задают закон изменения ускорения толкателя. Это связано с тем, что динамика кулачковых механизмов в основном определяется законами изменения ускорения за счет сил инерции, которые учитывают, например, при силовом расчете пружин, напряжений в деталях механизма, при анализе износа и долговечности кулачка и т. д. Если заданным является закон перемещения толкателя, то для определения его ускорения дважды дифференцируют функцию перемещения толкателя и затем оценивают максимальные значения ускорения, плавность хода толкателя, возможные разрывы функции (удары второго рода) и сравнивают их с допустимыми. Следует иметь в виду, что в большинстве случаев не обязательно строго придерживаться какого-либо конкретного закона перемещения толкателя, но важно, чтобы толкатель переместился на расстояние, равное ходу h_в за заданный угол φ_1y поворота кулачка в фазе удаления. Определяющим с позиций работоспособности кулачкового механизма является закон ускорения толкателя. Именно поэтому чаще задаются законом ускорения толкателя, а его скорость и закон перемещения получают путем интегрирования этого ускорения.

При проектировании кулачковых механизмов используют типовые законы изменения ускорения толкателя. Механизмы, работающие по этим зако-

(7.1)

(7.2)

нам, различаются долговечностью, плавностью хода и другими параметрами. И хотя в большинстве случаев для неответственных конструкций достаточно ограничиться самыми простыми законами, иногда из технологических соображений приходится обращаться к более сложным законам движения толкателя.

В табл. 7.1 приведены некоторые наиболее распространенные на практике законы изменения аналогов ускорения a_qB, скорости v_qB и перемещения S_в толкателя. Все зависимости представлены в виде функций относительного угла k поворота кулачка, который меняется от 0 до 1, т. е. k = φ_l/φ_l , где φ₁ — текущий угол поворота кулачка. Исходными данными для использования таблиц служат ход h_в толкателя и углы φ_ly и φ_1c фаз удаления и сближения соответственно. Характерные (особые) точки на графике аналога ускорения отмечены в относительных долях угла поворота кулачка некоторыми постоянными величинами k₁, k₂. В «симметричных» графиках величину k₂ отдельно не задают, а выражают через k₁, k₂ = 1 - k₁. Связь между кинематическими параметрами толкателя в фазе удаления определяется следующими соотношениями:

S_в=H_вf(k);

y_{qB =}H_B df(k)/φ_1ydk

a_qB =H_в d²f(k) /φ_1y²dk²

В фазе сближения также можно использовать соотношения табл. 7.1, только отсчет относительного угла поворота кулачка следует проводить в обратную сторону, т. е. от конца фазы сближения к ее началу. При расчете и построении соответствующих графиков углы φ_1y, φ_lc и угол φ_lp рабочего профиля кулачка удобно выражать в градусах.

7.3. Определение кинематических

передаточных функций

7.3.1. Построение графиков

по аналитическим зависимостям

Связь между кинематическими параметрами толкателя определяется известными соотношениями кинематики:

v_в=∫a_вdt; S_в=∫v_вdt,

где Т — промежуток времени, в течение которого осуществляется один оборот кулачка.

Закон изменения скорости кулачка не известен, поэтому нельзя использовать приведенные зависимости, но их можно выразить через кинематические передаточные функции, не зависящие от времени:

Теория механизмов и машин 1

Курсовое 1

проектирование 1

Теория механизмов и машин 2

Курсовое 2

проектирование 2

Nн.вел ^— Σn_cв + W ^— 2p_низш +p_высш + 1 (4.3) 60

(l2 " 'l) ^C0S(ФlH + θ) ^{= +} Fci'^cos(y2) 127

(l₂ " ¹1).^Sln (φ1 н ^{+ θ}) ⁼ 'з ^SIП (^2) 127

l₁ соs (φ₁₊φ₁₂)+ l₂ cos(β₂) = l₄ + l₃соs(γ₂) 129

l₁ соs (φ₁₊φ₁₃)+ l₂ cos(β₃) = l₄ + l₃соs(γ₃) 129

.2 145

,,, ^MPR∑(Ф) ω(φГ _м, 152

УL := Ук - ^a Уl = -°-⁶ 158

-Фзmax Фз(^f) 158

'Aв(^f) 159

Ф₅(^f) 159

Ф₄(f) 159

УK⁺ 'КN ^sin(Ф¹б) ⁺ 'МN ^siπ(Ф¹7) ⁼ Ум(^f) 160

Теория 203

механизмов и машин 203

Если известна зависимость a_qB = f_a (φ₁), можно по формуле (7.1) получить аналог скорости как функцию v_qB =f_v(φ₁), а по формуле (7.2) — перемещение как функцию угла поворота, S_в =f_s(φ₁) (табл. 7.1). Подчеркнем, что в табл. 7.1 приведены не законы изменения ускорения и скорости толкателя, а кинематические передаточные функции — аналоги ускорения и скорости. Истинные скорость и ускорение толкателя при необходимости всегда можно получить через угловую скорость кулачка: v = v_qω_l и a = a_qω_l² (при ω_l = соnst).

Отметим, что функция f_a(ω_l) в некоторых законах имеет особые точки — точки разрыва или излома. При этом функцию f_a(ω_l) при ω_l принадлежит [0, φ_lp ] разбивают на участки φ_li, = [φ_iнaч,φ_iкoн], внутри которых нет особых точек.

Чтобы избежать неопределенности в задании функции a_qB = f_a (φ1) = f₁ + f₂ + ... + f_m, считают, что отрезки каждого участка [φ_iнaч,φ_iкoн] открыты справа.

В случае, когда исходная функция задана в виде графика или таблицы значений, что бывает редко, решение получают при помощи численных или графических методов. Для определения передаточной функции скорости толкателя интегрируют заданную функцию ускорения толкателя, а затем интегрируя полученную функцию скорости, находят функцию перемещения толкателя. Обычно применяют стандартный метод численного интегрирования — метод трапеций, согласно которому

v'_qBi = v_qB(i-1) +∆φ_l (a_qB(i-1) + a_qBi )/2.

S'_Bi=S'_B(i-1)+∆φ_l (v_qB(i-1) + v_qBi )/2

где ∆φ_l = ∆φ_1p /(N — 1) — приращение угла поворота кулачка на шаге интегрирования; N — число равноотстоящих точек, в которых заданы значения переменной.

(7.6)

Кулачковые механизмы относятся к цикловым механизмам. В течение полного цикла движения толкатель кулачкового механизма должен переместиться из начального положения на расстояние, соответствующее ходу h_в, а затем возвратиться в исходное положение, т. е. перемещение толкателя в фазе удаления равно его перемещению в фазе сближения. Следовательно, кинематическая передаточная функция скорости должна удовлетворять условию

φ_р φ_у

∫ v_qBdφ₁ = ∫ v_qBdφ₁, (7.3)

φ_{с нач} 0

где φ_{c нaч} — угловая координата начальной точки в фазе сближения.

Скорость и кинематическая передаточная функция скорости толкателя в фазах ближнего и дальнего выстоя равны нулю, т. е. скорость толкателя в момент начала фаз удаления и сближения и в момент их окончания равна нулю. При этом необходимо, чтобы выполнялись соотношения

φ_ур φ_у

∫ a_qBdφ₁ = ∫ a_qBdφ₁, (7.3)

0 φ_ур

φ_{с нач}+φ_1cр φ_p

∫ a_qBdφ₁ = ∫ a_qBdφ₁, (7.3)

φ_{с нач} φ_{с нач}+ φ_1cр

где φ_yp - угловое положение толкателя при разгоне в фазе удаления; φ_1cp — угловое перемещение кулачка при разгоне в фазе сближения; φ_cp = φ_p - (φ_cнaч + φ_{1 cp}) — угловое положение кулачка при торможении в фазе сближения. Эти условия учитывают при построении безразмерных графиков передаточных функций скорости и ускорения, фактически эти условия сводятся к выравниванию площадей графиков над осью абсцисс и под ней, соответствующих указанным интегралам.

После определения законов перемещения и скорости толкателя путем непосредственного интегрирования заданного закона ускорения или по табл. 7.1 результаты расчета заносят в расчетно-пояснительную записку и строят на четвертом листе проекта соответствующие графики. Все три графика располагают один под другим на одинаковой базе b по оси абсцисс, которую следует выбирать в интервале 150...240 мм, и с примерно одинаковыми максимальными ординатами у каждого графика. Верхним будет график аналога ускорения, под ним — график аналога скорости и ниже — график перемещения.

На листе обязательно указывают масштабы построения графиков.

Масштаб графика угла поворота, мм/рад,

μ_φ=b/φ_1p

Масштаб графика перемещений, мм/м,

μ_s= y^max_SB/h_B

где y^max_SB— максимальная ордината с графика перемещений точки В центра ролика толкателя, мм Масштаб графика аналога скорости, мм/м,

μ_qv=y^max_vq/v^max_q

где — максимальное значение аналога скорости; y^max_vq — соответствующее ему выбранное значение ординаты на графике аналога скорости.

Масштаб графика аналога скорости, рассчитанный по формуле (7.7), является предварительным и служит для оценки возможности размещения графика на листе. Его всегда можно скорректировать. Для дальнейших построений удобно выбирать масштаб графика аналога скорости равным масштабу графика перемещений, т. е.

μ_qv=μ_S (7.8)

однако это не всегда возможно.

Масштаб графика аналога ускорений, мм/м,

(7.9)

где a^max_q — максимальное значение аналога ускорений; y^max_aq ^— соответствующее ему выбранное значение ординаты на графике аналога ускорения.

Масштаб графика аналога ускорений, рассчитанный по формуле (7.9), также является предварительным и служит для оценки возможности размещения графика на листе. Его всегда можно скорректировать.

Если из заданий к курсовому проектированию известна угловая скорость или частота вращения кулачка, то можно одновременно найти истинные скорость и ускорение толкателя. Как следует из законов кинематики, скорость толкателя определяется соотношением

v_B = v_qBω₁’ (7/10)

где 0)| — угловая скорость кулачка, рад/с.

График изменения аналога скорости v_qB одновременно является и графиком скорости v_в, построенным в своем масштабе μ_v, мм/(м*с^-l) Масштаб графика абсолютной скорости можно найти по известному масштабу графика аналога скорости

μ_v=μ_qv/ω₁. (7.11)

Аналогично график изменения аналога ускорения a_qB одновременно является и графиком ускорения a_qB, построенным в своем масштабе μ_α, мм/(м-с^-2). Масштаб графика абсолютного ускорения можно найти по известному масштабу графика аналога ускорений

μ_a=μ_qa/μ₁² (7.12)

поскольку ускорение через аналог ускорения можно определить по соотношению

a_B ⁼ a_qBω₁² (7.13)

В заключение находят длительность различных фаз. Принято, что кулачок вращается равномерно, поэтому длительность рабочей фазы

t_p=φ_p/ω_l (7.14)

С помощью зависимости (7.14) определяют масштаб графика времени μ_;, мм/с, по оси абсцисс

μ_t=μ_φω₁. (7.15)

В большинстве заданий к курсовому проектированию углы рабочего профиля кулачка, углы удаления, сближения и дальнего выстоя заданы в градусах. Поэтому допустимо для удобства построения масштаб графика углов μ^o_φ, мм/град, по оси абсцисс также выражать в градусах, т. е.

μ_φ^o=b/φ_1p (7.16)

7.3.2. Построение графиков методом

графического интегрирования

Для получения зависимостей изменения скорости и перемещения толкателя, если заданная в проекте функция ускорения толкателя отсутствует в табл. 7.1, проводят ее интегрирование. В аналитической форме для этого можно воспользоваться средствами пакета символьных вычислений Маррlе, а при численном анализе — программой МаthСАD. Кроме того, применяют методы графического интегрирования, хотя точность графических вычислений обычно невысокая. Пример такого интегрирования приведен на рис. 7.3. Согласно этому методу вначале в произвольном масштабе изображают график аналога ускорений толкателя. Размер (базу) b графика по оси абсцисс выбирают в диапазоне 150...240 мм и по зависимости (7.5) находят масштаб графика μ_φ по горизонтальной оси.

Далее, произвольно задавшись отрезками интегрирования K₁ и K₂, дважды проводят графическое интегрирование для определения скорости и перемещения толкателя. По полученной в результате интегрирования максимальной ординате на графике

перемещений находят масштаб графика μ₅ (см. (7.6)). По этому масштабу и выбранным отрезкам интегрирования K₁ и K₂, мм, находят масштабы, в которых фактически построены графики аналогов скорости и ускорения толкателя:

μ_vq=μ_SK₂/μ_φ; (7.17)

μ_aq=μ_qvK₁/μ_φ (7.18)

Следует отметить, во-первых, углы поворота кулачка при вычислении μ_φ задаются в радианах, во- вторых, при выборе отрезка интегрирования K₂, численно равного масштабу μ_φ, масштаб графика аналога скорости μ_qv будет равен масштабу графика перемещений μ_S, μ_qv = μ_S.

7.4. Определение основных размеров

кулачкового механизма

по условию ограничения угла давления

7.4.1. Построение фазового портрета

При выборе основных размеров кулачкового механизма (см. рис. 7.1) — минимального радиуса кулачка r₀, смещения (внеосности) оси толкателя относительно оси вращения кулачка или межосевого расстояния (см. рис. 7.2) — стремятся получить минимально возможные значения углов давления, так как при этом уменьшаются реакции в кинематичес-

(7.20)

ких парах, силы трения и повышаются КПД и надежность механизма. Метод определения угла давления в зависимости от характера движения звеньев высшей кинематической пары и основных размеров механизма показан на рис. 7.4. Угол давления

заключен между направлением вектора силы F, действующей со стороны кулачка на толкатель по нормали п-п, проведенной в точке касания звеньев, и направлением вектора скорости v_в точки В, перпендикулярного толкателю B0₂. Угол CO₁D равен углу давления ϑ и, следовательно, tgϑ = СD/О₁С = ВD-ВС/O₁C=BD-(O₂B-O₂C)/O₁C

Из подобия треугольника плана скоростей и треугольника BO₁D получают v_A/O₁A=v_B/BD

BD=v_BO₁A/v1=v_Br/w₁r=v_B/ω₁=v_qB

После подстановки значений отрезков зависимость между углом давления и кинематическими параметрами механизма принимает вид

tgϑ=v_qB-l₂+a_Wcosφ₂/a_wsinφ₂

де v_qB — аналог скорости точки В толкателя; l2 — длина толкателя; a_w — расстояние между осями вращения кулачка и толкателя; φ₂ — угол, определяющий положение толкателя относительно линии межосевого расстояния.

В случае, когда толкатель совершает прямолинейное поступательное движение (см. рис. 7.1), выражение для определения угла давления имеет вид

tgϑ=v_qB+-e/(S₀+S_B)

где е — смещение направляющей толкателя относительно оси вращения кулачка; S₀ + S_в — координата точки В толкателя в системе координат, имеющих начало на оси вращения кулачка.

Величины v_qB, S_в и φ₂, входящие в формулу для определения угла давления ϑ, являются переменными. Следовательно, угол давления также является переменной величиной, но его значение ϑ_i не должно превышать заданное допустимое значение угла давления, ϑ_i < [ϑ].

Ранее было показано (см. (7.19)), что отрезок ВD (см. рис. 7.4) изображает в масштабе μ_S передаточную функцию скорости точки В. Перпендикуляр к отрезку ВD, проведенный через его конец (точка D), составляет с прямой, проходящей через точку D и центр O₁ вращения кулачка, угол давления ϑ. Значит, если известно положение оси вращения кулачка, то даже не имея профиля кулачка, можно определить угол давления в различных i-х позициях толкателя (см. рис. 7.5), построив для них отрезки, изображающие аналог скорости v_qBi которые соответствуют положениям толкателя, определяемым перемещениями S_вi (см. рис. 7.5, а, б). Графики на рис. 7.5 называют фазовыми портретами кулачкового механизма. Очень важно, чтобы перемещения S_Bi и аналоги скорости v_qBi на фазовом портрете были построены с одинаковым масштабом. Именно поэтому выбор масштаба графика аналога скорости v_q равным масштабу графика перемещения S_в (см. разд. 7.2.1, формулу (7.8)), существенно упрощает построение фазового портрета.

При проектировании механизма, когда размеры кулачка, его радиус r₀ (отрезок O₁B₀) не известны, положение оси вращения кулачка также будет не известно. Его выбирают таким образом, чтобы любое из текущих значений угла давления ϑ_i не превышало допустимого значения [ϑ]. Для этого строят фазовый портрет, т. е. зависимость S_в(v_qB), и в каждой i-й позиции проводят через конец отрезка кинематической передаточной функции скорости v_qBl луч под углом [ϑ] к вектору скорости в этой точке. При расположении центра вращения кулачка непосредственно на луче выполняется равенство Ul =[iЗ]. Фактически луч делит плоскость, в которой может быть расположен центр вращения кулачка, на две области — допустимую, в которой ϑ_i<[ϑ], и недопустимую (на рис. 7.5 заштрихована), в которой ϑ_i > [ϑ]. Проделав аналогичные построения для всех точек фазового портрета, выделяют область допустимых решений (ОДР), в лю-

падает с направлением аналога скорости в фазовой плоскости. Пример правильного направления осей показан на рис. 7.5, в, г.

7.4.2. Определение минимальных габаритов

Для механизма с качающимся толкателем перемещениям S_k и S_n в точках k и n (рис. 7.6, а) соответствуют углы поворота толкателя (рис. 7.6, в)

β_k ⁼ S_k /l₂ и β_n ⁼ S_n /l₂

Из треугольника O₂kn, в котором известны длины двух сторон: l_O2k=l₂-v_qk, l_O2n=l₂⁺v_q4 И угол между ними (β_n-β_k), определяют расстояние между точками к и п, а по теореме косинусов — угол δ:

В треугольнике O₁kn углы и длина отрезка O₁k согласно теореме синусов равны:

α_k=90^o-[ϑ] + (β_n-β_k) + δ,

a_n =90°-[ϑ]-δ,

y = 180°-(a_k +a_n),

l_O1k =l_knsinα_n/sinγ.

Межосевое расстояние находят из треугольника O_lkO₂ в соответствии с теоремой косинусов:

a_w = l_O2O1 = √( l²_O2k +l²_O1k - 2l_O2k*1_O1k sin[ϑ]) (7.22)

Угол между межосевой линией и ближним положением толкателя определяют из треугольника O₁kO₂ по теореме синусов:

φ_2O=аrcsin ((l_O1k/a_w)соs[ϑ]) -β_k

бой точке которой выполняется условие ϑ_i≤ [ϑ] (см. рис. 7.5, г). Центр вращения кулачка помещают в ОДР, общую для всех положений. Такое решение обеспечивает выполнение условия ϑ_i< [ϑ] для полного цикла работы механизма.

Для механизма с поступательно перемещающимся толкателем построить ОДР существенно проще: достаточно провести всего два луча, касательных к фазовому портрету под углом [ϑ] (см. рис. 7.5, в). Более того, в большинстве случаев максимальные значения углов давления соответствуют характерным точкам фазового портрета S_в(v_qB), в которых текущие значения аналога скорости v_qB максимальны. (Это происходит в том случае, если на графике v_qB в экстремальных точках имеется излом (3-3') функции v_qB.) Два луча, проведенные через них, и определят ОДР.

Чтобы построить фазовый портрет, следует по значениям функции перемещения толкателя для произвольного значения угла поворота кулачка φ_1i и передаточной функции скорости v_qBi для того же угла φ_1i, построить точку фазового портрета S_в(v_qB)_i, т. е. по существу исключить φ_1i из функций S_b(φ_1i,) и v_qv(φ_1i). При поступательном движении толкателя точку фазового портрета строят в прямоугольной системе координат с началом в точке S₀ (см. рис. 7.5, в). При качающемся толкателе построение точки фазового портрета осуществляют в полярной системе координат с началом в точке O₂ на оси вращения толкателя (см. рис 7.5, г). Текущие значения перемещения S_Bi толкателя откладывают по линии перемещения центра ролика (по дуге радиусом l2), а текущие значения аналога скорости v_qB — вдоль осевой линии толкателя.

При построении фазовых портретов следует руководствоваться правилом знаков: передаточная функция скорости при удалении толкателя положительная величина, при сближении — отрицательная. Поэтому вектор скорости точки В толкателя, повернутый на 90° в направлении вращения кулачка, сов

lkn = √ [l²_O2k + l²_O2n - 2l_O2k*1_O2n cos (β_n - β_k )] ,

δ = аrсsin[ (l_O2k/l_Kn)sin(β_n -β_k)] .

(7.23)

(7.25)

Радиус начальной окружности кулачка находят из треугольника O₁B₀O₂ (рис. 7.6, в) по теореме косинусов:

r₀ = √a_w² + i²₂ -2a_wl₂cosφ₂₀. (7.24)

Расчетные соотношения для определения размеров кулачкового механизма при поступательном движении толкателя, получаемые с использованием рис. 7.6, б, имеют вид

γ=2[ϑ];

δ = аrсtg(S_k-S_n)/(v_qk-v_qn)

a_n = 90° - [ ϑ] - δ;

a_n = 90° - [ϑ] - δ;

l_kn=(v_qk-v_qn)/cosδ

l_O1k=l_knsinα_n/sinγ

Смещение оси толкателя относительно оси вращения кулачка

e=l_O1ksin[ϑ]-v_qk

Координата ближней точки толкателя

S₀=l_Olk соs[ϑ]-S_k. (7-26)

Радиус начальной окружности кулачка

r₀=√S²₀+е². (7.27)

При жестких ограничениях габаритов механизма следует учитывать, что заклинивание толкателя при силовом замыкании кинематической пары характерно только в фазе удаления, так как в фазе сближения толкатель движется под действием силы упругости пружины силового замыкания. Это позволяет расширить границы ОДР для положения оси O₁ вращения кулачка, если при работе механизма реверсивное движение кулачка не предусмотрено (кулачок вращается только по ходу часовой стрелки, либо только против хода). В этом случае в фазе сближения не вводят ограничение угла давления или допустимый угол давления в фазе сближения принимают значительно большим, чем в фазе удаления.

На рис. 7.7 для механизма с поступательно движущимся толкателем показаны ОДР, позволяющие

понять логику выбора положения центра вращения кулачка:

ОДР — вращение кулачка реверсивное, допустимые углы давления при удалении и сближении одинаковы;

ОДР₁ — вращение кулачка реверсивное, но значения допустимых углов давления в фазах удаления и сближения различны;

ОДР₂ — кулачок вращается только против часовой стрелки, предельное значение угла давления при сближении не регламентировано;

ОДР₃ — кулачок вращается только по часовой стрелке, предельное значение угла давления при сближении не регламентировано; .

ОДР₄ — вращение кулачка реверсивное, смещение направляющей относительно оси Вращения кулачка не допускается, е = 0.

Согласно требованиям, предъявляемым к работе кулачкового механизма, выбирают соответствующую ОДР и тем самым определяют его минимальные габариты: r₀, е (или a_w). Для каждого конкретного механизма условия его проектирования отражены в заданиях к курсовому проектированию. В расчетно-пояснительной записке необходимо указать сведения о направлении вращения кулачка, допустимом угле давления и относительном расположении осей вращения кулачка и толкателя, а также об условии допустимости реверсивной работы механизма.