6.3. Методика проведения кинематического синтеза

В исходных данных числа зубьев колес не заданы, поэтому для их определения при проектировании схемы планетарного механизма составляют уравнения (6.1) —(6.10) и решают их совместно. Особенность решения заключается в том, что искомые величины — числа зубьев колес — целые числа. Для уравнений в целых числах не существует строгих методов их решения, поэтому чаще всего прибегают к тем или иным методам подбора.

Наиболее простой путь определения чисел зубьев связан с прямым перебором всех комбинаций чисел зубьев в некотором диапазоне до тех пор, пока не найдется механизм, удовлетворяющий всем требованиям и ограничениям. При максимальном числе зубьев z_max = 150...200 общее число вариантов не превысит (2...6)-10⁶, что не является принципиальным затруднением для современных вычислительных машин — среднее время такого перебора составляет обычно несколько минут.

Программу перебора вариантов чисел зубьев студент может написать самостоятельно на любом языке, ориентируясь на алгоритм, приведенный на рис. 6.5. По существу программа содержит три вложенных цикла перебора чисел зубьев колес z₁- z₃, при этом число зубьев z₄ четвертого колеса определяется из условия соосности. После вычисления передаточного отношения, если отклонение его от заданного не превышает допустимой точности, проводят проверку механизма на выполнение условий сборки и соседства. Далее наборы чисел зубьев выводят на печать как результат синтеза. Конечно, при таком алгоритме выполняется значительное число лишних вычислений, однако это компенсируется простотой алгоритма. Программы получаются компактными, а время счета обычно не превышает нескольких минут. Распечатку текста самостоятельно написанной программы и результаты ее счета приводят в расчетно-пояснительной записке.

Для подбора чисел зубьев можно также воспользоваться такими программами, как Рlапеt, Plan5, SР или другими по согласованию с консультантом. Кроме того, применяют метод неопределенных множителей, или метод сомножителей. Покажем использование этого метода на примере планетарного механизма со смешанным зацеплением (см. рис. 6.3, б).

Заданы передаточное отношение u⁴_1н и число k сателлитов. Согласно ранее полученным формулам и условиям синтеза определяют:

передаточное отношение

u⁴_1н=1+z₂z₄/z₁z₃l (6-12)

межцентровое расстояние

a_w=r_w1+r_W2=r_w4-r_w3 (6-13)

или связь между числами зубьев при равных значениях модуля зацепления

z₁+z₂=z₄-z₃. (6.14)

Затем записывают условие сборки (6.9) и условие соседства (6.7), которое при z₂ > z₃ принимает вид

sin π/k>z₂+2h_a^*/(z₁+z₂)

(6.15)

а при z₃ > z₂ -

sin π/k>z₃+2h_a^*/(z₁+z₂)

Из уравнения (6.12) определяют значение отношения z₂z₄/(z₁z₃) и полученное число разлагают на сомножители А, В, С и D, которым числа зубьев z₁ z₂, z₃, z₄ должны быть соответственно пропорциональны. Чтобы обеспечить соосность механизма, a_w1 ⁼ a_W2 вводят дополнительные множители, поставленные в скобки:

u_1H-1= z₂z₄/z₁z₃ = ВD/AC =

=В(D-С)D(А+В)/А(D-С) С(А+В)

С учетом условия соосности для этой схемы механизма

z₁ = А(D- С)q, z₂ = В(D - С)q, z₃ = С(А + В)q, z₄ = D(А + В)q.

Общий множитель q необходимо подобрать так, чтобы все числа зубьев были целыми и, кроме того, z₁ > 17; z₂ > 17; z₃ > 20; z₄ > 85, a z₄ -z₃ > 8.

Далее следует проверить, как выполняются условия соседства (6.7) и сборки (6.9), а также требования к минимизации габаритов.

В расчетно-пояснительной записке указывают метод, которым были найдены числа зубьев редуктора.

После определения чисел зубьев планетарного механизма и расчета радиусов делительных окружностей колес на листе проекта изображают кинематическую схему механизма в двух проекциях и на одной из них строят диаграмму скоростей (см. рис. 6.3, а и приложение П7, Л10, Л11). На диаграмме угловые скорости колеса z_l и водила H пропорциональны тангенсам углов ψ₁ и ψ_H передаточное отношение u_1H = ω₁/ω_H = tgψ/tgψ_H = АА'/АА". На схеме углы ψ₁ и ψ_H лежат в одной четверти, следовательно, и угловые скорости будут одинаково направлены.

2. Критерии оптимальности

При синтезе планетарного зубчатого механизма необходимо учитывать не только условия, определяющие его кинематику, но и дополнительные требования, позволяющие улучшить качество механизма. Условия проектирования работоспособного механизма рассмотрены в разд. 6.2, 6.3. Соответствующие им решения многовариантны, поэтому из них выбирают оптимальное. Таких решений может быть несколько, в зависимости от выбора оценочных параметров. В качестве критериев оптимальности планетарного механизма могут быть выбраны разные условия. Наиболее распространены три критерия оптимальности.

1. Критерий Г — наибольший радиальный габарит. Для получения этого критерия сравнивают габариты ступеней Г_I — зацепления колеса 1 с сателлитом 2 и Г_II — колеса 4 с сателлитом 3 (см. рис. 6.3). При этом для внешнего зацепления в качестве габарита принимают величину d_ц.к. + 2d_caт, а для внутреннего зацепления ступени — d_внут, где

d_ц.к., d_сат, d_внут — диаметры делительных окружностей центрального колеса, сателлита, колеса внутреннего зацепления соответственно. Наибольший из критериев Г_I или Г_II принимают за критерий Г, оценивающий габарит редуктора. Отметим, что критерий Г не является фактическим габаритом передачи, поскольку для внешнего зацепления габарит определяется через диаметры окружностей вершин соответствующих колес, а для внутреннего зацепления необходимо учитывать размеры зубчатого венца. Поэтому критерий используется только для сравнения вариантов, поскольку понятно, что механизм с большим значением критерия Г будет иметь и большие размеры.

Это наиболее важный критерий, поскольку при прочих равных условиях более компактная передача всегда предпочтительнее.

2. Критерий Σ — сумма чисел зубьев (Σ = z₁ + + z₂ + z₃ + z₄), косвенно определяющий массу редуктора и трудоемкость его изготовления. Заметим, что иногда в качестве критерия Σ выбирают более сложное выражение, учитывающее число сателлитов к и, на наш взгляд, более точно отражающее величину массы редуктора, Σ = z₁ + k(z₂ + z₃) + z₄. Заметим также, что критерий Σ никак не учитывает случай, когда разные ступени редуктора имеют разные модули.

3. Критерий некратности — условие отсутствия кратности числа зубьев центральных колес числу сателлитов к. При наличии такой кратности в механизме могут возникать периодические силовые возмущения и, кроме того, износ зубьев в этом случае получается неравномерным. Если таковая кратность отсутствует, то механизм с некратным числом зубьев числу сателлитов будет более динамически работоспособным. Это слабый критерий и один из наиболее трудно достижимых, поскольку в случае передаточных отношений некратных числу сателлитов он конфликтует с условием сборки.

Как уже указывалось, при синтезе планетарных редукторов число неизвестных зубьев колес больше числа кинематических условий. Следовательно, задача имеет множество решений. Для поиска оптимальных решений из всех вариантов наборов чисел зубьев z_l5 z₂, z₃, z₄, удовлетворяющих кинематическим условиям, рассчитывают оценочные показатели по критериям Σ и Г. Затем, последовательно сравнивая между собой, например, величины Σ для каждого набора, находят наименьшее значение критерия Г_min. Соответствующий ему набор значений чисел зубьев и сателлитов z_1; z₂, z₃, z₄, к принимают за параметры оптимального механизма, имеющего при прочих равных условиях наименьшую массу. Аналогично, сравнивая величину критерия Г для разных наборов чисел зубьев, находят наименьшее его значение Г_min. Соответствующий ему набор параметров z_l z₂, z₃, z₄ и к является оптимальным вариантом механизма с наименьшим радиальным габаритом при прочих равных условиях.

Например, при синтезе планетарного редуктора смешанной схемы (см. рис. 6.3, в) с передаточным

Рис. 6.6

отношением u₁⁴_н = 6 и с максимально допустимым числом зубьев z_max = 120 с помощью уже упоминавшейся программы Planet2 получается 28 разных наборов зубчатых колес, из которых в принципе можно построить вполне работоспособный планетарный редуктор. Проведем их оптимизацию по трем вышеперечисленным критериям. На рис. 6.6 приведены четыре варианта планетарных редукторов смешанной схемы из возможных 28, все с одинаковым передаточным отношением u₁⁴_н = 6, но с разными наборами чисел зубьев. Схемы показаны в той форме, в какой они воспроизводятся программой Planet2. Схемы рис. 6.6, а и б имеют одинаковый критерий Σ = 170, но отличаются по габариту — в схеме а критерий Г = 85, тогда как в схеме б он увеличен до значения Г = 102, поэтому редуктор с числами зубьев, соответствующих схеме α, будет более компактным. Две схемы (рис. 6.6, в и г) имеют одинаковый габарит Г = 120, хотя суммарное число зубьев в них различно — Σ=240 для схемы в и Σ = 200 для схемы г. Сравнивая все четыре схемы, видим, что схема на рис. 6.6, а (z₁ = 17, z₂ = 34, z₃ = 34, z₄ = 85, k = 3) будет оптимальной, поскольку имеет наименьший габарит (Г = 85) и наименьшую сумму чисел зубьев (Σ = 170). Заметим, что в полученном наборе числа зубьев сателлитов обеих ступеней одинаковы (z₂ = z₃= 34), следовательно, в данном случае нет необходимости использовать двухрядный редуктор смешанной схемы (см. рис. 6.3, в), и аналогичный результат может быть достигнут с помощью редуктора (см. рис. 6.3, α) более простой однорядной схемы — (z₁ = 17, z₂ = 34, z₃ = 85).

Выбранные схемы необходимо проверить на кратность чисел зубьев z₁ и z₄ числу сателлитов k Проверка найденного варианта (см. рис. 6.6, а), имеющего z₁ = 17 и z₄ = 85, показала, что поскольку ни z₁, ни z₄ не кратны 3 (для этой схемы k = 3), то выбранная схема будет иметь удовлетворительные динамические характеристики.