2. Определение закона движения механизма в переходном режиме

Для получения зависимости ω₁(φ₁) уравнение (3.19) записывают для угловой скорости звена приведения (кривошипа 1)

(3.30)

где T_нач — кинетическая энергия в начальном положении механизма, т. е. при φ₁ = φ_нaч. Суммарную работу можно определить путем интегрирования суммарного приведенного момента:

φ

A_∑(φ)= ∫ M_∑^прdφ₁, (3.31)

Фнaч

φ₁, — в рад.

Обычно получить эту зависимость аналитическими методами не удается, поэтому проводят численное интегрирование по табличным значениям или с помощью построенного графика M_∑^пр(φ₁) (рис. 3.4). Для этого угол поворота φ₁ в интервале

значений от φ_1нaч до φ_1кoн делят на ряд достаточно малых интервалов ∆φ₁. В пределах каждого интервала ∆φ_1i криволинейную трапецию подынтегральной функции M_∑^пр заменяют равновеликим ей по площади прямоугольником, соответствующим криволинейной трапеции. При этом среднее значение ординаты у_M^* равно среднему значению суммарного приведенного момента. Теперь площадь интервала можно найти как площадь прямоугольника, ΔS = у_M^*Δφ₁, мм². Площадь этого прямоугольника соответствует приращению работы ΔА на этом же интервале, для определения которой следует поделить величину ΔS на масштабы графика M_∑^пр по оси абсцисс и по оси ординат, т. е.

ΔA =ΔS/(μ_M/μ_φ), Дж,

где μ_φ — масштаб угла поворота φ₁ мм/рад; μ_M — масштаб момента M_∑^пр, мм/(Н-м);

Найденное значение ΔА суммируют с уже вычисленным значением А на предыдущем интервале ∆φ₁. По полученным значениям строят график зависимости A_∑(φ₁), задавшись масштабом работы μ_A, мм/Дж. Начальное значение А принимают равным нулю, т. е. при φ = φ_нaч A_Σ = 0. В общем случае в конце рассматриваемого участка движения при φ₁ ⁼ φ_{1 кон} работа A_Σ не равна нулю.

Некоторого повышения точности можно добиться, если криволинейную трапецию заменить не на прямоугольник, а на равновеликую прямолинейную трапецию и вычислить среднее значение ординаты у_M^* на указанном интервале как полусумму крайних ординат.

Можно также воспользоваться хорошо известным методом графического интегрирования (см. рис. 3.4). Точность графического интегрирования обычно невысока из-за малого числа интервалов разбиения оси φ₁. Достоинство метода заключается в том, что масштаб построенного графика работы получается автоматически:

μ_A =μ_Mμ_φ/K, мм/Дж, (3.32)

где К — отрезок интегрирования, мм. После определения отдельных значений функции A_∑(φ₁) рассчитанные значения аппроксимируются плавной кривой (в пределах непрерывности подынтегральной функции).

К описанным методам интегрирования нужно сделать очень важное замечание. Все особенности графика A_∑(φ₁) (разрывы, изломы) обязательно должны попасть на границы какого-либо интервала разбиения. В противном случае искажается физический смысл зависимости A_∑(φ₁) и ухудшается точность интегрирования.

При табличном задании функции M_Σ^пр(φ₁) целесообразно отказаться от графических методов и получать значение A_∑(φ₁) численными методами, используя специализированные математические пакеты или математические средства типа МаthСАD. Численное интегрирование можно проводить и в случае, когда приведенный момент M_Σ^пр задан только графиком. Здесь, как и ранее, график следует разбить на достаточно мелкие интервалы, измерить ординаты на границах интервалов, полагая, что функция задана таблицей полученных значений.

Кинетическая энергия механизма в начальный момент времени известна и равна (3.33) где ω_1нaч — начальная угловая скорость, рад/с; J_Σ^пр_нaч — суммарный приведенный момент в начальный момент времени, кг м².

(3.34)

Рис. 3.5

Как известно, приведенный момент J^пр_Σ представляет собой сумму приведенных моментов инерции всех звеньев механизма, объединенных в первую и во вторую группы звеньев: J^пр_Σ=J^пр_I+J^пр_II

В любом произвольном i-м положении механизма J^пр_Σ = J^пр_I+J^пр_II, J^пр_I = const, и обычно J^пр_I >J^пр_II,. Суммарный приведенный момент в начальном положении механизма

J^пр_Σ=J^пр_I+y_IIнач/μ_J

Если начальная угловая скорость ω_{1 нач} = 0 (режим пуска машины), то в начальном положении кинетическая энергия Т_нач = 0 и формула для расчета угловой скорости ω₁ примет вид

ω₁=2A_Σ/J^пр_Σ

С помощью графиков суммарной работы A_Σ(φ₁) и суммарного приведенного момента инерции J^пр_Σ, можно для каждого положения механизма по формуле (3.19) или (3.30) вычислить угловую скорость и построить график зависимости ω₁(φ1).

Угловое ускорение ε_м =ω_M/dt, равное угловому ускорению ε₁ начального звена механизма (обобщенному угловому ускорению), можно определить из дифференциального уравнения движения

13. и рассчитать по формуле (3.21):ε₁=M^пр_Σ/J^пр_Σ-(ω²/2J^пр_Σ)(dJ^пр_Σ/dφ₁)

Значения величин M^пр_Σ, J^пр_Σ и ω₁ выбирают на соответствующих графиках для рассматриваемого положения механизма.

Производную dJ^пр_Σ/dφ₁ находят, дифференцируя функцию J^пр_Σ(φ₁), либо аналитически по формуле (3.22), либо графически, используя соотношение

где ψ — угол между касательной, проведенной к кривой J^пр_Σ(φ) в исследуемом положении, и положительным направлением оси абсцисс (см. рис. 3.2, б). Знак производной dJ^пр_Σ/dφ₁ определяется знаком функции tgψ. Например, в i-м положении φ₁ = π/3 и, следовательно, tgψ > 0, а в к-м положении φ₁ = 2π/3 и tgψ < 0.

Угловое ускорение можно определить более простым, но менее точным способом:

Теория механизмов и машин 1

Курсовое 1

проектирование 1

Теория механизмов и машин 2

Курсовое 2

проектирование 2

Nн.вел ^— Σn_cв + W ^— 2p_низш +p_высш + 1 (4.3) 60

(l2 " 'l) ^C0S(ФlH + θ) ^{= +} Fci'^cos(y2) 127

(l₂ " ¹1).^Sln (φ1 н ^{+ θ}) ⁼ 'з ^SIП (^2) 127

l₁ соs (φ₁₊φ₁₂)+ l₂ cos(β₂) = l₄ + l₃соs(γ₂) 129

l₁ соs (φ₁₊φ₁₃)+ l₂ cos(β₃) = l₄ + l₃соs(γ₃) 129

.2 145

,,, ^MPR∑(Ф) ω(φГ _м, 152

УL := Ук - ^a Уl = -°-⁶ 158

-Фзmax Фз(^f) 158

'Aв(^f) 159

Ф₅(^f) 159

Ф₄(f) 159

УK⁺ 'КN ^sin(Ф¹б) ⁺ 'МN ^siπ(Ф¹7) ⁼ Ум(^f) 160

Теория 203

механизмов и машин 203

где значение и знак производной dω₁/dφ₁ определяются по графику зависимости ω₁(φ₁), как и для производной dJ^пр_Σ/dφ₁. После преобразований

ε₁=ω(μ_φ/μ_ω)tgφ_ω

где φ_ω — угол между касательной, проведенной к кривой ω₁(φ₁), и положительным направлением оси абсцисс.

Далее находят время движения механизма из начального положения в заданное. Известно, что

t-t_нач=∫ dφ₁/ω₁

Обычно принимают t_нач = 0. Интегрирование можно проводить численными или графическими методами (рис. 3.5). В пределах выбранных участков 0-1, 1-2 и т. д. кривую ω₁(φ₁) заменяют ступенчатым графиком с ординатамиy_ω1, y_ω2 и т. д.

Значения указанных ординат определяют исходя из условия, что площади криволинейных трапеций или треугольников, расположенных выше и ниже ординаты y_ωi, должны быть одинаковыми (см. рис. 3.5, указанные площади заштрихованы). Значения ординат y_ωi, переносят на ось ординат, а затем на отрицательную полуось абсцисс и получают точки 1', 2' и т. д. Отложив по оси ординат произвольный отрезок ОМ = К (в миллиметрах), соединяют точки 1', 2' и т. д. с точкой М. На графике t(φ₁) в пределах каждого участка проводят линии, параллельные линиям 1'M, 2'М и т. д. На участ-

ке 0-1 проводят линии 01", параллельные 1'M; на участке 1-2 — линии 1"2", линии 2'M. Точки 0, 1", 2", ... соединяют кривой t(φ₁). Масштаб этой кривой μ_t = μ_φK/μ_ω мм/с. Чем длиннее отрезок интегрирования К, тем большие значения имеют ординаты графика зависимости t(φ₁). Конечная ордината графика зависимости t(φ₁) пропорциональна времени одного цикла работы механизма.

Примеры выполнения первого листа курсового проекта в переходном режиме приведены в приложениях ПЗ и П7 (лист Л2).

3.3. Определение закона движения

механизма в установившемся режиме

3.3.1. Общие положения

В установившемся режиме движения механизма начальное звено, которое обычно является главным валом машины (например, коленчатым валом основного механизма), вращается с угловой скоростью ω₁ =dφ₁/dt, изменяющейся в соответствии с периодическим законом. В течение цикла изменение угловой скорости ω₁ относительно среднего значения ω_1cp определяет неравномерность вращения вала, которую оценивают коэффициентом неравномерности

δ=(ω_1max-ω_1min )ω_1cp

где ω_1max и ω_1min — соответственно наибольшее и наименьшее значения угловой скорости за цикл.

Из уравнения (3.30) следует, что при заданных силах, определяющих работу А_Σ. диапазон изменения угловой скорости зависит от суммарного приведенного момента инерции J^пр_Σ механизма. Практически его изменение обусловлено только приведенным моментом инерции первой группы звеньев J^пр₁, поэтому можно подобрать необходимую маховую массу и, тем самым, ограничивая диапазон изменения угловой скорости добиться, чтобы коэффициент неравномерности имел заданное значение. При этом момент инерции связан с коэффициентом неравномерности δ следующим соотношением:

J^пр₁=(ΔT₁)_нб/ω_1cp²δ

где (∆Гj) _g — наибольшее изменение кинетической энергии первой группы звеньев за цикл, Дж; ω_1cp — средняя угловая скорость начального звена, рад/с.

Кинетическая энергия механизма равна сумме кинетических энергий всех его звеньев. Тогда с учетом разделения звеньев на группы можно записать

T=T_I+T_II

т. е.

T_I=T-T_II (3.37)

где Т = A_∑+ T_иaч — полная кинетическая энергия механизма; T_II — кинетическая энергия второй группы звеньев.

По уравнению (3.37) можно построить график и определить

(ΔT)_нб=T_1max - T_1min (3-38)

Здесь T_1max и T_1min — соответственно наибольшее и наименьшее значения кинетической энергии первой группы звеньев за цикл.

3.3.2. Работа суммарного приведенного

момента

В случае, когда все действующие силы, а значит, и приведенный момент M^пр_Σ, зависят только от положения механизма (от обобщенной координаты φ₁), суммарная работа

A_∑(φ₁)= ∫ M^пр_Σ(φ₁)dφ₁,.

Если внешняя сила задается из индикаторной диаграммы, то для определения M^пр_Σ необходимо найти зависимость этой силы от угла поворота начального звена для полного цикла его работы. Для четырехтактного двигателя, например, φ₁ = 4π.

В установившемся режиме движения суммарная работа внешних сил за цикл A_∑ц =0. Однако в общем случае для обеспечения равенства нулю суммарной работы требуется внешний силовой фактор — дополнительный внешний момент, который имеет естественный физический смысл: для технологических машин — движущий момент двигателя, а для машин- двигателей — внешний момент нагрузки. Эти моменты приложены непосредственно к звену приведения, т. е. к главному валу. Значения этих величин не заданы, и в процессе проектирования их подбирают так, чтобы выполнялось равенство A_∑ц =0. Отсюда следует, что работа движущих сил за цикл должна быть равна работе сил сопротивления: A_Дц = A_cц. Полагают, что дополнительные моменты — движущий или момент сопротивления — постоянные величины, не зависящие от положения механизма. Тогда их работа будет пропорциональна углу поворота и за цикл составит Mφ_1ц.

Определение дополнительного момента, обеспечивающего установившееся движение, можно по-

казать на примере рассмотренного ранее машинного агрегата, состоящего из двухтактного двигателя внутреннего сгорания и электрического генератора (см. приложение П7, лист Л1). В этом случае дополнительным моментом является момент сопротивления электрического генератора, M_c = сопst, но его значение не задано.

Суммарную работу А_Σ определяют путем интегрирования приведенного момента движущих сил M^пр_Σ(φ₁). На рис. 3.6, а показан график зависимости M^пр_Д(φ₁), аналогичный приведенному в приложении П7 на листе Л1, но работа будет рассматриваться только одного из двух кривошипно- ползунных механизмов. На рисунке также проведено интегрирование момента M^пр_Д и получена зависимость работы А_Σ от приведенного момента M^пр_Д. На рис. 3.6, б интегрирование выполнено графическим способом, а на листе Л1 проекта — численным методом. Ордината кривой графика работы в конце цикла, т. е. при φ₁ = 2π, в масштабе μ_А соответствует работе приведенного момента движущих сил A_дц за цикл, A_дц ≠ 0. Поскольку при установившемся движении работа движущих сил за цикл по модулю равна работе сил сопротивления, |А_дц| = |А_сц|, то ордината, пропорциональная A_дц, будет в том же масштабе μ_A изображать и необходимую работу сил сопротивления за цикл, но взятую с обратным знаком, A_дц =-A_cц. Если момент сопротивления M_c = соnst, то его работа за цикл A_cц = M_c φ_ц, следовательно, момент сопротивления M_c = A_cц/φ_ц, в данном случае M_c = A_cц/2π.

Суммарную работу всех внешних сил можно получить путем интегрирования графика суммарного приведенного момента M_Σ(φ₁), являющегося алгебраической суммой M^пр_Σ(φ₁) и M_c(φ₁) ) (с учетом знаков моментов).

Чтобы достичь существенно большей точности, при определении зависимости M^пр_Σ(φ₁) не учитывают моменты сил тяжести звеньев и другие потенциальные силы, работа которых за цикл равна нулю и, значит, не влияет на момент сопротивления M_c. Однако их необходимо учитывать при определении момента M_Σ. Иными словами, при вычислении зависимости M^пр_Σ(φ₁) можно учитывать только движущие силы, определяемые индикаторной диаграммой. После интегрирования и нахождения момента M_c суммарный приведенный момент можно определить как сумму всех действующих моментов M^пр_д(φ₁), M_c(φ₁) и суммарного приведенного момента сил тяжести всех звеньев M^пр_Σ(φ₁). Такой подход является общим для всех цикловых механизмов, вне зависимости от их природы.

Кроме того, на рис. 3.6 показан другой подход к определению момента M_c, ориентированный на графическое решение, согласно которому суммарную работу можно найти и без фактического расчета площадей M^пр_Σ(φ₁), не вычисляя значение A_д. Приведенная на рисунке зависимость A_c(φ₁) в данном случае представляет собой наклонную прямую, так как M^пр_с=M_c=const. Ординату, изображающую момент M^пр_с в масштабе μ_м, определяют путем графического дифференцирования графика зависимости A_c (φ₁). Существенно, что в этом методе при вычислении моментаM^пр_Σ(φ₁) нельзя пренебрегать силами тяжести.

Для построения графика суммарной работы А_∑ (φ₁ ) суммируют в каждом положении ординаты работы движущих сил и сил сопротивления. Для этого на графике A_д (φ₁) (см. рис. 3.6, б) проводят штриховую линию, изображающую зависимость -А _д (φ₁). Алгебраическая сумма ординат на этих графиках соответствует отрезку, заключенному между кривыми А_д(φ₁) и -A_c(φ₁) и изображающему в масштабе μ_А текущее значение суммарной работы. График суммарной работы А_Σ (φ₁) приведен на рис. 3.7. Точность графического метода решения обычно невысокая.

Единственное преимущество описанного подхода заключается в том, что процесс интегрирования — наиболее трудоемкая операция при графическом решении — проводится один раз. При использовании численного метода обычно это не является существенным достоинством, и интегрирование проводят два раза: первый раз функции

(3.39)

(3.40)

M^пр_д(φ₁) Для получения момента M_c, и второй — функции M_Σ для вычисления суммарной работы А_Σ. Для повышения точности при графическом решении также используют подход, основанный на двухкратном интегрировании (особенно в случае сложных функций приведенных сил — с разрывами и изломами).

Примеры выполнения первого листа проекта приведены в приложениях П4 и П7 (лист ЛЗ).

3.3.3. Кинетическая энергия звеньев механизма

а. Построение графика полной кинетической энергии всех звеньев механизма Т(φ₁ ). Поскольку Т = А_Σ+Т_нaч, где Т_нaч — кинетическая энергия в начальном положении, то для получения графика зависимости Т(φ₁ ) следует ось абсцисс (см. рис. 3.7) перенести вниз на ординату, соответствующую начальной кинетической энергии Т_нaч. Значение Т_нaч не известно, поэтому новое положение оси абсцисс φ₁^* показано на рис. 3.7 условно.

б. Построение графика приведенного момента инерции J^пр_II(φ₁) и приближенного графика T_II(φ₁). Для решения уравнения (3.37) строят график кинетической энергии T_II(φ₁) второй группы звеньев, для определения кинетической энергии T_II через приведенные моменты инерции этой же группы звеньев — график J^пр_II(φ₁). В кривошипно-ползунном механизме вторая группа звеньев включает в себя шатун 2 и поршень 3 (см. рис. 2.2), следовательно,

J^пр_Σ = J^пр₃ + J^пр_2п + J^пр_2в = m₃v_qC² + m₂v_qS² + J_S2ω²_q2 .

Вычисленные значения приведенных моментов инерции заносят в таблицу. Графики зависимостей J^пр₃(φ₁), J^пр_2п(φ₁) и J^пр_2в(φ₁) строят в выбранном масштабе, μ_J, мм/(кг*м²), затем их суммируют и получают график J^пр_II(φ₁) (см. рис. 3.2, а).

Кинетическая энергия T_II звеньев 2 и 3

T_II(φ)=J^пр_II(φ₁)ω₁²/2

Так как закон изменения угла поворота ω₁ не известен, то для определения кинетической энергии T_II используют приближенное равенство ω₁ =ω_1cp, впервые предложенное Н.И. Мерцаловым. Так как коэффициент неравномерности δ обычно мал, получают

T_II=J^пр_IIω_1cp²/2

Учитывая, что ω_1cp = соnst, считают кинетическую энергию пропорциональной приведенному моменту J^пр_II, а построенную кривую J^пр_II(φ₁) принимают за приближенную кривую T_II(φ₁). Масштаб графикаT_II(φ₁)

μ_T =2μ_J/ω_1cp²

где μ_т — в мм/Дж.

В случае многоцилиндровых поршневых машин, как уже указывалось, необходимо построить суммарный график, ∑T_II(φ)= ∑T_{II i} , где n — число

рассматриваемых механизмов, равное числу цилиндров машины. Рекомендуется описанным выше способом построить сначала график J^пр_II(φ₁) для механизма, передающего движение от поршня одного цилиндра на главный (коленчатый) вал, а затем в каждом положении механизма графически или аналитически просуммировать п ординат этого графика, учитывая углы между осями цилиндров и кривошипами коленчатого вала. Далее полученный график ∑J^пр_II(φ₁) после расчета масштаба μ_T, преобразуют в график ∑T_II(φ₁).

В приложении П7 (лист Л1) показана схема двухцилиндрового двухтактного двигателя внутреннего сгорания с рядным расположением цилиндров. Рабочий процесс в каждом цилиндре происходит за один оборот главного вала — начального звена 1. Угол между кривошипами коленчатого вала равен π, угол между осями цилиндров — нулю.

При таком расположении цилиндров и таком угле между кривошипами кинематические процессы механизмов рассматриваемого двигателя сдвинуты относительно друг друга на угол π. Фазы рабочего процесса в цилиндре 5 механизма 2 сдвинуты по отношению к одноименным фазам рабочего процесса в цилиндре 3 механизма 1 также на угол π, т. е. на угол поворота главного вала в течение времени осуществления половины цикла. Следовательно, график приведенного момента (M_д^пр)_2ц сдвинут по отношению к (M_д^пр)_lц также на π. На такой же угол сдвинут и график T_II(φ₁)_2ц по отношению к графику T_II(φ₁)_1ц . После сложения ординат этих графиков можно получить график ∑T_II(φ₁).

4. Построение приближенного графика зависимости Т_I (φ₁^*)

Согласно уравнению (3.37), кинетическая энергия первой группы звеньев

T_I=T-T_II.

Следовательно, при построении кривой T₁ (φ₁^*) необходимо из ординат кривой Т(φ₁*) (см. рис. 3. 7) в каждом положении механизма вычесть отрезки, изображающие момент T_II (см. рис. 3. 2, а). Длины вычитаемых отрезков определяются соотношением

у_TIIi^*=у_TIIi(μ_A/μ_T)

где у_TIIi^*, y_TII — ординаты в масштабе μ_A и μ_T соответственно (см. рис. 3. 7).

Кривая зависимости T_I (φ₁^*) — приближенная, так как получена вычитанием из точной кривой T(φ₁^*) приближенных значений T_II (рис. 3. 8).

4. Определение необходимого момента инерции маховых масс

На кривой зависимости Т_I (φ₁^*) находят точки Q и N, соответствующие максимальному T_1max и минимальному T_Imin значениям кинетической энергии первой группы звеньев (см. рис. 3. 8) и получают согласно уравнению (3. 38) наибольшее изменение кинетической энергии первой группы звеньев за цикл:

(∆T_I)_нб=T_1max - T_Imin=(∆у_TI)_нб/μ_A

где (∆у_TI)_нб — отрезок, изображающий (∆T_I)_нб в масштабе μ_A, мм/Дж.

Необходимый момент инерции J_I^пр рассчитывают по формуле (3.36):

J_I^пр=(∆T_I)_нб/ω_1cp²δ

Допущение, что ω₁ ~ ω_1cpпри построении графика Т_II (φ₁), не вносит заметной ошибки, если заданный коэффициент неравномерности δ < 1/20. При больших значениях заданного коэффициента неравномерности в расчет момента J_I^пр целесообразно внести поправку, чтобы избежать завышения маховых масс. Для этого можно использовать формулу

J_I^пр=((∆T_I)_нб-δ(T_IIQ-T_IIN))/ω_1cp²δ

где T_IIQ иT_IIN — кинетическая энергия второй группы звеньев (см. рис. 3.2, б) соответственно в поло

жениях механизма Q и N, при которых кинетическая энергия первой группы звеньев имеет значения T_1max и T_Imin (СМ. рис. 3.8).

4. Определение момента инерции дополнительной маховой массы (маховика)

По формуле (3.36) рассчитывают необходимый момент инерции J_I^пр который обеспечит изменение угловой скорости ω₁ главного вала в интервале значений, заданных допустимым коэффициентом неравномерности [δ]. В первую группу звеньев кроме начального звена механизма часто входят еще и другие звенья — детали: роторы электрических двигателей, зубчатые колеса, подвижные части редукторов и т. д. Все эти вращающиеся звенья, связанные с начальным звеном постоянным передаточным отношением, обладают маховыми массами, которые влияют на закон движения начального звена. Если сумма приведенных моментов инерции вращающихся звеньев J_вр^пр оказывается меньше необходимого момента инерции J_I^пр, то в состав первой группы звеньев следует ввести дополнительную маховую массу (маховик), момент инерции которой

J_дoп=J_I^пр-∑J_вр^пр

В качестве примера на рис 3.9 показана та часть механизмов машинного агрегата, которая представляет собой первую группу звеньев. Начальное звено (ω₁) — коленчатый вал b основного механизма — тихоходное. Поэтому между ним и электрическим двигателем (ЭД) находится понижающая передача, состоящая из планетарного редуктора (ПР) и пары зубчатых колес z₂ и z₁ Для рассматриваемого при-

мера момент инерции начального звена l равен

J_A = J_b+ J_z1.

Необходимый момент инерции J₁^пр можно получить, исходя из динамического расчета (ем. разд. 3.3.5). Приведенные моменты инерции остальных звеньев первой группы находят следующим образом:

J_z2^пр=(ω₂/ω₁)²=J_z2u²₁₂=J_z2(z₁/z₂)²

J_рот^пр=(ω_дв/ω₁)²=J_ротu_дв1²

u_дв1=u_ПРu₂₁

где u_дв1, u_ПР и u₂₁ — передаточные отношения.

Далее определяют момент инерции дополнительной маховой массы, которая размещается на валу начального звена:

J_доп=J₁^пр-(J_b+J_z1+J_z2^пр+J_ред^пр+J_рот^пр)

3.3.7. Габариты и масса маховика

Конструктивно маховик, момент инерции которого обозначают J_доп, выполняют в форме обода со ступицей (рис. 3.10, а) или в форме сплошного диска (рис. 3.10, б). В осевом сечении обод маховика имеет форму прямоугольника, стороны которого ограничиваются наружным D₂, внутренним D₁ диаметрами и толщиной b. Соотношения между раз

Рис. 3.10

мерами записывают в виде безразмерных коэффициентов

Ψ_b ⁼ b/D₂ и Ψ_h⁼ D₁/D₂

Из конструктивных соображений обычно принимают Ψ_b = 0,2 , Ψ_h = 0,6...0,8. Плотность материала маховика ρ = 7800 кг/м^З. При значениях Ψ_b ⁼ = 0,2 и Ψ_h ⁼ 0,8 расчетные формулы имеют вид:

1. маховик — обод со спицами и ступицей (см.

рис. 3.10, а):

наружный диаметр D₂ = 0,437 ⁵√ J_доп, м,

внутренний диаметр D₁ = 0,8D₂, м,

ширина обода b = 0,2D₂, м,

масса обода m = 6123(D₂² - D₁²)b, кг;

2. маховик — диск (см. рис. 3.10, б):

диаметр D = 0,366 ⁵√ J_доп м,

ширина b = 0,2 D, м,

масса m = 1230D³, кг.

Если расчетные размеры маховика получаются неконструктивными (слишком большими) исходя из требований по габаритам, то устанавливают одну или несколько маховых масс на более быстроходных валах. В этом случае момент инерции маховика J_доп уменьшается пропорционально квадрату передаточного отношения частоты вращения соответствующих валов.

3.3.8. Определение закона движения механизма при различных режимах движения

Чтобы найти угловую скорость начального звена по уравнению (3.36), необходимо знать начальные условия, которые в режиме установившегося движения заранее не известны. Воспользуемся тем, что при малых значениях коэффициента неравномерности δ верхняя часть графика T_I(φ₁*) (см. рис. 3.8), изображающая изменение кинетической энергии Т_I, приближенно изображает также изменение угловой скорости ω₁(φ₁). В точках Q и N угловая скорость ω₁ имеет еоответетвенно значения ω_1max и ω_1min. Разность ординат точек Q и N, измеренная непоередетвенно по графику, равна I_QN. Тогда масштаб графика угловой скорости

μ_ω=I_QN/δω_lcp (З.43)

где μ_ω — в мм/(рад. с^-1).

Чтобы определить полное значение угловой скорости, необходимо найти положение оси абсцисс φ₁^** графика ω₁(φ₁). Для этого через середину отрезка, изображающего разность (ω_1max - ω_1min) н равного разности ординат точек Q и N(см. рис. 3.8), проводят горизонтальную штриховую линию, которая является линией средней угловой Скоро-

сти ω_1cp. Расстояние до нее от оси абсцисс (φ_I^** определяют по формуле

y_ωcp = ω_1cp μ_ω. (3.44)

Получив положение оси абсцисс φ^** на графике ω₁ и зная масштаб μ_ω, можно определить угловую скорость в начальном положении механизма ω_1нaч и затем по формуле (3.33) — кинетическую энергию механизма в начальном положении:

Tнач=(J_Σ^пр)_нач*ω_1нaч²/2

Используя зависимость (3.19), находят значение угловой скорости начального звена ω₁(φ₁) в каждом положении φ₁ на всем интервале изменения обобщенной координаты ∆φ_ц.

Угловое ускорение главного вала ε₁(φ₁) в каждом положении можно рассчитать по формуле (3.21) или (3.34) либо получить графически дифференцированием Графика ω₁(φ₁ ).

Таким образом, задача динамики по определению закона движения динамической модели и, следовательно, начального звена механизма решена. Законы движения остальных звеньев могут быть определены методом планов или рассчитаны по формулам:

v_M = v_qМω₁,

a_M =a_qM -ω₁²+v_qM*ε₁, (3 45)

ω_j=ω_qjω₁,

ε_j=ε_qjω₁²+ω_qjε₁,.

Необходимо учитывать, что знак функции ε₁(φ₁) зависит от направления вектора угловой скорости, например, при отрицательном значении вектор углового ускорения ε₁ противоположен вектору ω₁. Это уточнение необходимо иметь в виду в случае вращения главного вала по ходу часовой стрелки — отрицательное значение ускорения соответствует его фактическому направлению против хода часовой стрелки. В формулах (3.45) значение ε₁(φ₁) подставляют со знаком, согласно формальному правилу: положительными считают величины ω₁ и ε₁, если они направлены против хода часовой стрелки.

З.4. Последовательность определения закона

движения механизма

3.4.1. Указания к выполнению первого листа

курсового проекта

Реальный механизм с начальным вращающимся звеном следует заменить одномассовой динамической моделью. Последовательность дальнейших действий будет зависеть от того, работает ли механизм в переходном или в установившемся режиме.

Этапы выполнения первого листа курсового проекта (первые шесть пунктов относятся к переходному и установившемуся движению механизма).

1. Определить недостающие размеры звеньев механизма по исходным данным.

2. Па листе построить в масштабе схему механизма. Угол поворота начального звена за цикл работы механизма разбить на требуемое число равных частей. Построить схему механизма во всех положениях.

3. Определить передаточные функции исследуемого механизма с помощью соответствующих программ или построив для каждого из положений механизма план возможных скоростей.

4. Построить заданную индикаторную диаграмму р[S(φ)] для поршневой машины и график сил F[S(φ)], действующих на соответствующее звено (ползун, поршень, коромысло и др.).

5. Построить графики приведенных моментов движущих сил М_д^пр (φ), сил сопротивления М_с^пр (φ) и сил тяжести М_Gi^пр (φ) как функции обобщенной координаты φ.

6. Построить графики J_i^пр (φ) переменных приведенных моментов инерции второй группы звеньев J_II^пр (φ) и график ∑J_II^пр(φ) их суммы для многоцилиндровых машин.

Далее пункты пронумерованы для переходных режимов движения — с буквой «п», для установившегося движения — с буквой «у».

Переходный режим

7п. Построить график суммарного приведенного момента М^пр_Σ(φ) с учетом всех действующих сил.

8п. Путем интегрирования графика суммарного приведенного момента М^пр_Σ(φ) построить график суммарной работы А_∑ (φ).

9п. Для каждого из положений механизма определить суммарный приведенный момент инерции J^пр_Σ (φ)= J_II^пр + J_I^пр (построение графика J_II^пр см. п. 6; J_I^пр = соnst определяют по исходным данным проекта).

10п. По заданным начальным условиям (φ_нaч и ω_нaч) найти начальную кинетическую энергию T_нaч по формуле (3.33).

11п. Для каждого из положений механизма по формуле (3.30) подсчитать угловую скорость и построить график ω_l (φ).

12п. В каждом из положений механизма определить угловое ускорение ε по формуле (3.34) и построить график ε₁(φ₁).

13п. Построить график t(φ₁).

Установившийся режим

7у. Построить график суммарного приведенного момента М_Σ^пр(φ_l) (без учета потенциальных сил).

8y. После интегрирования графика суммарного приведенного момента М_Σ^пр(φ_l) найти M_д (или M_c) для обеспечения установившегося движения.

9y. Найти суммарный приведенный момент М_Σ^пр(φ_l) с учетом потенциальных сил и найденного M_д (или M_c), путем интегрирования графика суммарного приведенного момента М_Σ^пр(φ_l) построить график суммарной работы A_∑(φ₁) .

10у. Выполнить переход от графика A_∑(φ₁) к графику кинетической энергии всего механизма Т(φ₁^*).

11у. Выполнить переход от графика J_II(φ₁) к приближенному графику Т_II (φ₁^*) кинетической энергии второй группы звеньев.

12y. Построить график Т_I (φ₁^*) кинетической энергии первой группы звеньев.

13y. Определить по формулам (3.36) необходимый момент инерции маховых масс J_пр¹, по формулам (3.42) — момент инерции дополнительной маховой массы (маховика) J_дoп и найти размеры маховика.

14y. Выполнить переход от графика Т_I (φ₁^*) к приближенному графику ω(φ₁) угловой скорости начального звена.

Результаты расчета параметров необходимо свести в таблицу (и включить в расчетно-пояснительную записку). На каждом графике выполняемого листа должна быть построена шкала. Графики должны быть оформлены в соответствии с ГОСТ 3.319-81, ГОСТ 3.317-80. Примеры выполнения листов курсового проекта для различных машин приведены в приложении П7. На них изображены результаты динамических исследований как установившегося, так и переходного режимов работы для транспортной машины с двигателем внутреннего сгорания, упаковочного автомата, брикетировочного пресса с электрическим приводом и др.

3.4.2. Пример проектирования и выполнения

первого листа проекта

Для машинного агрегата (рис. 3.11, г), состоящего из одноцилиндрового вертикального поршневого компрессора, кривошипно-ползунного механизма и электрического двигателя, определяют при установившемся режиме работы необходимый момент инерции Jlпр маховых масс и закон движения механизма (см. рис. 3.1). Исходные данные приведены в табл. 3.1.

Ниже приведена последовательность выполнения первого листа с использованием графических методов.

1. Синтез механизма. Согласно формулам (1.1), (1.2) длина кривошипа l₁ =v_cp/4n₁ =3,20/(4*10) = 0,080 м, по заданному соотношению l_I/l₂ = 4,0 находят длину шатуна l₂ = 4/1 = 0,080.4 = 0,320 м.

2. Построение схемы механизма (см. рис. 3.11, а), масштаб μ_s, мм/м. Отрезок АВ = l₁μ_s = 64 мм, тогда μ_s = 64/0,080 = 800 мм/м; отрезок ВС = l₂μ₅ = 0,320.800 = 256 мм. Угол поворота начального звена разбивают на 24 равных интервала по 15° (на схеме номера позиций проставлены через 30°). Отсчет угла поворота φ₁ проводят от вертикальной оси, когда поршень (звено 3) находится в верхней мертвой точке (ВМТ).

3. Вычисление передаточных функций с использованием программы AR2u для определения кинематических характеристик кривошипно-ползунно- го центрального механизма. В расчетно-пояснительной записке необходимо привести таблицы входных и выходных данных. Графики v_qC(φ₁) и u₂₁(φ₁) строят в соответствующих масштабах (рис. 3.11, в).

Таблица 3.1

Исходные данные	Значение
Средняя скорость vcp поршня	20 м/с
Отношение длины l2 шатуна 2 к длине l, кривошипа 1, λ2 = l2/l1	4,0
Относительное положение центра масс λS2 шатуна 2 (λS2 = lBS2/l2)	0.33
Диаметр d цилиндра	0,20 м
Частота вращения n1 коленчатого вала	12 c-1
Максимальное давление pmax в цилиндре	0,5 МПа
Масса m2 шатуна 2	8 кг
Масса m3 поршня 3	10 кг
Момент инерции J2S шатуна 2 относительно оси, проходящей через центр масс	0,22 кг-м2
Момент инерции JIA коленчатого вала (без маховика)	0,25 кг-м2
Момент инерции Jрот ротора электрического двигателя	0,023 г-м2
Момент инерции Jпрред муфты редуктора зубчатой передачи, приведенный к звену 1	0,55 кг.м2
Коэффициент δ неравномерности вращения	1/40

4. Построение индикаторной диаграммы (рис. 3.11, б) по заданной таблице значений давления в цилиндре компрессора (табл. 3.2). Максимальный ход поршня h₃μ_s на листе делят на 10 интервалов. В каждой точке деления строят ординату диаграммы, задавшись максимальной ординатой, которая для рассматриваемого примера равна 100 мм. Тогда в относительном положении поршня S_С/h₃ = 0,6 (где S_c — текущее положение поршня 3),

текущее значение ординаты 100p/p_max = 100*0,18 = = 18 мм. Значениеp/p_max выбирают из табл. 3.2 для S_с/h₃ ⁼ 0,6 при ходе поршня вверх (при этом в цилиндре компрессора происходит сжатие воздуха). Затем вычисляют масштаб индикаторной диаграммы: p_max = 0,5 МПа = 5000 кПа. Тогда μ_p =

100/500 = 0,2 мм/кПа, где 100 мм — выбранная ордината на чертеже, соответствующая p_max (табл. 3.2).

Для определения силы давления F_c на поршень необходимо давление умножить на площадь поршня. При построении графика силы, действующей на поршень, ординаты этого графика принимают

М^пр_с = F_cv_qC соs (F_c,v_c).

равными ординатам индикаторной диаграммы. Тогда масштаб силы можно определить по формуле

μ_f =μ_p/S_П =0,2/0,0314 = 6,37 мм/кП,

где площадь поршня S_П = πd²/4 = π*0,2²/4 = = 0,0314 м².

Положительные значения силы F_д соответствуют положительному знаку работы этой силы, а отрицательные — отрицательному знаку. Таблицу значений F_д приводят в расчетно-пояснительной записке.

5. Построение графиков приведенных моментов. Для определения закона движения механизма заменяют реальный механизм его одномассовой динамической моделью и находят приложенный к ее звену суммарный приведенный момент

М^пр_Σ = М^пр_с + М^пр_д

Приведенный момент Мпрд, заменяющий силу сопротивления F_c, определяют в каждом положении механизма по формуле (3.23):

Силу F_c выбирают по таблице или находят по индикаторной диаграмме:

F_ci ^_ y_Fi/μ_F

где y_Fi = y_pi — ордината с индикаторной диаграммы, мм; μ_F — масштаб сил, мм/кП.

Для построения графика М^пр_с(φ₁) (рис. 3.11, е) определяют ординаты y_м с шагом ∆φ_l = 30° (табл. 3.3).

Масштаб по оси ординат графика М^пр_с(φ₁) находят, назначая (y_М )_maх = ' 04,7 мм. Тогда μ_м =

= (У_{м maх} )/(M^пр_с)_max =104,7/1,047 = 100 мм/(кН. м).

Масштаб по оси абсцисс μ_φ = 240/2π = = 38,2 мм/рад. Здесь 240 мм — выбранная база графика, а угол поворота φ₁ звена 1 за цикл равен 2π рад. Результирующий график приведен на рис. 3.11, ж.

Приведенный момент движущих сил М^пр_д(φ₁) = = сопst определяют из условия, что при установившемся движении |A_д| = |A_C| за цикл; работа |А_cц| пропорциональна площади f_c (в квадратных миллиметрах) под кривой М^пр_c(φ_l). Тогда

М^пр_д = |f_c| μ_м μ_φ . 2π = 3190 / (100.38,2.6,28) =

= 0,133 кП м.

Приведенным моментом М^пр_G2 cил тяжести G₂ звена 2 пренебрегают, так как он мал по сравнению с моментом М^пр_c (табл. 3.3).

6. Построение графика суммарного приведенного момента М^пр_Σ(φ₁). С учетом знака суммируют ординаты графиков М^пр_д(φ_l) и М^пр_c(φ₁) (см. рис. 3.11, д).

7. Определение суммарной работы А_Σ(φ₁):

_Фi

A_∑= ∫М^пр_Σdφ₁.

^Ψнaч

Таблица 3.3

	Значение угла поворота φ1, град
Параметр	0	0	0	0	20	50	80	40	70	0	20	30	15	5
	Позиция
	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	23	24
vqC	0	0,487	0,782	0,800	0,604	0,313	-	0,313	0,604	0,800	0,782	0,487	0,667	0,257
yF, мм	0	5	—	—	-	—	—	—	—	1	0	00	00	7
Fc, кН	5,69	0,49	-	—	-	-	-	0,47	0,25	0,39	0,41	5,69	5,69	10,52
Мпрc, кН м	0	0,267	-	—	—	—	—	0,015	0,076	0,263	0,736	0,764	1,047	0,270
yM ,мм	—	26,7	-	—	—	—	—	1,5	7,6	26,3	73,6	76,4	104,7	7,0

Таблица 3.2

Наименование величины	Расчетная формула	Значение
Относительное перемещение поршня (в долях хода h)	Sc/h3	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
Давление воздуха λi (в долях pmах) при движении поршня: вверх вниз*	λi =p/pmах	1 1	1 0,30	1 0	0,58 0	0,38 0	0,26 0	0,18 0	0,12 0	0,08 0	0,04 0	0,0 0

* Направление отсчета относительного положения поршня — от ВМТ вниз.

График А_∑ (φ₁) (см. рис. 3.11, ж) строят методом графического интегрирования графика М^пр_Σ(φ₁), выбирая отрезок интегрирования К = 40 мм. В конце цикла установившегося движения суммарная

Таблица 3.4

Позиция	Длина отрезка, мм
	yII	yIIμA/μT
0; 12; 24	56	10,7
2; 22	93	17,7
4; 20	155	29,4
6; 18	162,5	30,8
8; 16	116	22
10; 14	73,5	14

работа всех сил равна нулю, А_∑ = 0. Масштаб графика А_∑(φ₁) по оси ординат μ_A =μ_Mμ_φ/K = = 95,5 мм/кДж = 0,0955 мм/Дж.

8. Построение графика переменных (рис. 3.11, з) приведенных моментов инерции J^пр_п второй группы звеньев выполняют с помощью формул (3.25)- (3.27), используя полученные значения передаточных функций.

В механизме компрессора во вторую группу звеньев входят звено 3 — поршень и звено 2 — шатун. Приведенные моменты инерции этих звеньев определяют по следующим формулам:

J^пр₃ ⁼ m₃v_qC² ,J^пр_2п⁼m₂V_qS2², J^пр_2в⁼J_2Su₂₁².

Рекомендуется зависимость J^пр_i(φ₁) строить с более мелким шагом Δφ₁ = 15°. Результаты расчетов сводят в таблицу. Отдельно строят зависимости J^пр₃(φ₁), J^пр_2п(φ₁), J^пр_2в(φ₁) и их сумму J^пр_II(φ₁). Масштаб по оси ординат μ_J (мм/(кг.м²)) выбирают из удобства построения. В рассматриваемом примере при φ₁ = 90° (положение 6) J^пр₃ =0,064 кг .м². В положении 6 механизма ордината графика y^пр₃= 96 мм. Тогда μ_J = y^пр₃/J^пр₃ =96/0,064 = = 1,5.10^Змм/(кг. м²).

8. Построение графика полной кинетической энергии всего механизма Т(φ₁^*) проводят по зависимости Т = A_Σ + T_нач.

9. Построение графика кинетической энергии Т_II(φ₁) (приближенного) второй группы звеньев (см. рис. 3.11, з). По формуле (3.40) пересчитывают масштаб построенного графика J^пр_II(φ₁):

μ_T =2μ_J//ω²_1ср = 2*1,5*10³/62,8 = 0,76 мм/Дж;

ω_1cp =2πn₁ =6,28*10 = 62,8 рад/с.

8. Построение графика кинетической энергии Т_I(φ_l^*) первой группы звеньев (приближенного) (см. рис. 3.11, ж) осуществляют по уравнению (3.37), T = T-T_II. В каждом положении механизма из ординат кривой Т(φ_l^*) вычитают ординаты y_II(μ_A/μ_T), равные значениям Т_IIμ_A в соответствующих положениях механизма. Ординаты y_II берут с графика Т_II(φ₁):

μ_A/μ_T =0,0955/0,76 = 0,13.

Далее составляют таблицу вычитаемых отрезков (табл. 3.4) и строят график (см. рис. 3.11, ж).

8. Определение необходимого момента инерции маховых масс J^пр₁ по формуле (3.36). Максимальное изменение (ΔT_I)_нб за период цикла находят из графика Т_I (см. рис. 3.11, ж), т. е.

T_1max -T_1min =(Δy_TI)_нб/μ_A = 59/0,0955 = 617,8 Дж.

Тогда

J^пр_I = (ΔT₁ )_нб /(ω²_1cpδ) = 617,8.40/(62,8².1) =

= 6,28 кг м².

Момент инерции дополнительной маховой массы J_дoп определяют по формуле (3.42):

J_дoп=J^пр_I -ΣJ^пр_вр=J^пр_I-(J_1S+J^пр_рот+J^пр_ред)=6,26 - (0,25 + 0,53 + 0,55) = 4,93 кг. м²,

где J^пр_рот— приведенный момент инерции ротора электрического двигателя:

J^пр_рот = J^пр_рот*u_pед² = 0,023 - 4,8² = 0,53 кг. м².

8. Построение графика (приближенного) угловой скорости ω₁(φ_l^**) выполняют по графику Т₁(φ_l^*) (см. рис. 3.11, ж), для чего определяют масштаб угловой скорости по формуле (3.43):

μ_ω=μ_А*J^пр_Iω_1cp =0,0955*6,26*62,8 =

= 37,54 мм/(рад*с^-1).

Расстояние от линии ω_1cp до оси абсцисс находят по формуле (3.44):

y_ω1cp = ω_1cpμ_ω = 62,8.37,54 = 2357,5 мм.

В приложении П7 (лист Л7) приведен пример анализа динамики инерционного конвейера, не описанного подробно в настоящем пособии, но с методикой выполнения которого можно познакомиться в учебной литературе, специально посвященной инерционным транспортерам.

З.5. Выбор электрического двигателя

и анализ влияния его механической

характеристики на движение механизма

При определении закона движения начального звена механизма и расчете маховых масс по методу Мерцалова исходят из предположения, что силы сопротивления и движущие силы зависят только от приведенного момента движущих сил, который считают постоянным и равным его среднему за цикл значению. Однако механические характеристики

электрических асинхронных и ряда других двигателей не обеспечивают выполнение этого условия, так как движущий момент M_дв на валу ротора электрического двигателя изменяется с изменением частоты п его вращения (рис. 3.12, a). Поэтому решение, найденное по методу Мерцалова, следует считать только первым приближением. Для всех машинных агрегатов, в которых источником движения является электрический двигатель, необходимо подобрать тип двигателя по каталогу (справочнику) или с помощью методической литературы.

Расчеты начинают с определения работы A_cц заданных сил сопротивления на выходном звене механизма за цикл установившегося движения:

при поступательном движении звена S_ц

A_cц = ∫ F_cdS 0

при вращательном движении

S_ц

A_cц = ∫ M_cdφ.

0

При вычислении интеграла работу A_{c ц} представляют, как правило, в виде суммы работ при рабочем A_{p x} и вспомогательном A_{в x} ходах:

А_{c ц} = A_{p x} + A_{в x} .

Во многих частных случаях работу A_{c ц} вычисляют по следующим соотношениям:

а) сила сопротивления F_c, приложенная к ползуну, постоянна при прямом и обратных ходах:

А_{c ц} = A_{пp x}+А_обр.х = F_c*2h_C где h_c — ход ползуна;

б) сила сопротивления F_c постоянна при прямом ходе и равна нулю при обратном:

А_{c ц} = A_{пp x} = F_c*h_C

в) сила сопротивления F_c постоянна на части прямого хода длиной l и равна нулю на остальном перемещении:

А_{c ц} = A_{пp x} = F_c*l

г) сила сопротивления F_c постоянна на части прямого хода длиной l, сила трения F_т постоянна при рабочем и холостом ходах:

А_{c ц} = A_{пp x}+А_обр.х = F_c*l+F_т2h_C

д) силы сопротивления F_{p x}иF_{x x} постоянны соответственно при рабочем и холостом ходах:

А_{c ц} = A_{пp x}+А_обр.х = F_{пp x}*h_C+F_обр.хh_C

е) сила сопротивления на части хода длиной l изменяется линейно в пределах от F_c доF^** :

А_{c ц} = 0,5(F_C^*+F_C^**)l;

ж) момент M_c сил сопротивления постоянен при повороте звена l (см. рис. 3.11, а):

А_{c ц} =M_Cφ₁^*,

где φ₁^* — угол поворота, рад;

з) сила сопротивления задана в виде графика (F_5c, S₅) силы, приложенной, например, к звену 5:

А_{c ц} ⁼ f_c/(μ_Fμ_S)

где f_c — площадь под кривой F_5c(S₅), мм²; — масштаб силы F_5c мм/Н; μ_S — масштаб перемещений S₅, мм/м.

Для рассматриваемого одноцилиндрового поршневого компрессора (см. рис. 3.11) механическая характеристика задана в виде индикаторной диаграммы P(S_C) (см. рис. 3.11, б). Площадь диаграммы пропорциональна затраченной работе.

Средняя мощность рабочей машины Pср=А_{c ц}/Т_ц = А_{c ц}n₁

где n₁ — заданная частота вращения кривошипа l, с^-1. После выбора электрического двигателя по мощности частоту n₁ необходимо уточнить.

Для определения необходимой мощности электрического двигателя нужно рассчитать коэффициент полезного действия привода (включающего зубчатые, ременные, цепные передачи, планетарный редуктор, муфты, подшипники). Ниже приведены ориентировочные значения КПД различных элементов привода:

Элемент привода КПД

Одноступенчатая цилиндрическая

зубчатая передача 0,96-0,98

Однорядный планетарный редуктор . . . 0,9-0,95

Двухрядный планетарный редуктор

со смешанным зацеплением 0,85-0,9

Ременная передача 0,94—0,95

Цепная передача 0,93-0,95

Пара подшипников качения 0,99

Упругая соединительная муфта 0,98

При последовательном соединении элементов привода общий КПД определяют как произведение КПД отдельных элементов.

В рассматриваемом машинном агрегате (см. рис. 3.11, г) привод вала компрессора (кривошипа 1) включает однорядный планетарный редуктор (ПР) и открытую зубчатую передачу (ЗП) (общее передаточное отношение которых u_д1=n_дв/n₁ = = u_пp*u_зп = 4,8), a также две пары подшипников и упругую муфту. Поэтому суммарный КПД привода здесь рассчитывают по формуле

η_∑ ⁼ η_пр*η_зп*η_под²*η_муф,

η_∑ =0,93*0,96*0,99²*0,98 = 0,86.

При определении закона движения вала компрессора в рассматриваемом примере не учитывались силы трения в кинематических парах рычажного механизма, поэтому КПД кривошипно-ползунного механизма принимают равным единице. Кроме того, не учитывалась передача мощности кулачковому механизму (КМ) и зубчатой передаче.

Далее определяют мощность электрического двигателя P_дв ≥P_сp/η_д1.

Электрический двигатель выбирают по каталогу или справочнику. Рекомендуется применять асинхронные двигатели с короткозамкнутым ротором как наиболее надежные и экономичные.

В большинстве заданий на курсовой проект указаны параметры электрических двигателей: частота вращения ротора, момент инерции (или маховой момент) ротора. Однако эти данные ориентировочные и их следует уточнить и привести в соответствие с параметрами выбираемого двигателя. Для его подбора задаются синхронной частотой вращения ротора (750, 1000, 1500, 3000 об/мин) и используют найденную выше его минимально необходимую мощность.

Единая серия асинхронных электрических двигателей 4A предусматривает пределы мощности от 0,06 до 400 кВт. Двигатели выполняют со стандартным скольжением (4A), с повышенным пусковым моментом (4AP) или с повышенным скольжением (4AC). Они обладают разными свойствами. Так, движущий момент на валу двигателя с повышенным скольжением (при одном и том же коэффициенте неравномерности вращения) изменяется меньше, чем у двигателей серии 4A.

В каталоге указаны синхронная n_cин и номинальная n_нoм частоты вращения, номинальная мощность P_дв, относительные значения пускового, критического и номинального крутящих моментов, λ_п =M_пyc/M_нoм, λ_кp=M_max/M_нoм, а также ма

ховой момент ротора mD², с помощью которых можно найти соответственно пусковой и максимальный (опрокидывающий) моменты.

Синхронную частоту вращения n_син ротора подбираемого двигателя находят из соотношения n_син> n₁u_д1

Здесь n₁ — заданная приближенная частота вращения кривошипа 1.

По каталогу или справочнику выбирают асинхронный трехфазный электрический двигатель единой серии 4А с повышенным скольжением. Для рассматриваемого примера это двигатель 4АС132М2УЗ, его номинальная мощность Р_дв = 11 кВт, синхронная частота вращения n_син = 3000 об/мин, номинальная частота вращения n_ном = 2840 об/мин; λ_п = 2; λ_к = 2,4; маховой момент ротора mD² = = 0,09 кг * м².

Перечисленные параметры двигателя позволяют рассчитать угловую скорость при номинальной мощности

ω_дв.ном = πn_ном /30 = π*2840/ 30 = 297,25 рад/с; номинальный движущий момент

М_ном = Р_дв/ω_дв.ном = 11 000/297,25 - 37,01 Н * м; пусковой момент

М_пус = λ_пМ_ном = 2 * 37,01 = 74,02 Н * м;

критический (максимальный) момент

Мкр = λ_крМ_ном = 2,4 * 37,01 - 88,82 Н * м; момент инерции ротора

J_рот =0,25mD² =0,25*0,9 = 0,0225 кг-м²

и построить механическую характеристику n_дв(М_дв) двигателя 4АС80А6УЗ (рис. 3.12, а).

При построении механической характеристики участок кривой, примыкающий к точке с номиналь-

(3.47)

ными параметрами n_нoм M_нoм, приближенно можно заменить отрезком прямой линии (второй участок кривой от M_пyc до M_кp также допускается заменить отрезком прямой).

Параметры динамической модели механизма уточняют, используя построенную механическую характеристику двигателя, рис. 3.12, а. Сначала, учитывая передаточное отношение привода u_дI = = n_дв/n₁ = 4,8 и его КПД (η = 0,86), строят приведенную механическую характеристику двигателя, т. е. зависимость ω₁ (М^пр_д) (см. рис. 3.11, ж). С этой целью рассчитывают синхронную угловую скорость звена приведения (и кривошипа 1)

ω_1CИH = ω_1ДBCИН/u_двl= πn_СИН/(30u_дв1)

= π*3000/(30*4,8) = 65,42 рад/с и номинальную угловую скорость звена приведения ω_1нoм = ω_двном/u_двl = 297,25/4,8 = 61,93 рад/с, находят приведенный номинальный движущий момент

М^пр_{д ном} =M_нoмu_двl n_лl =31,01.4,8.0,86 = 152,78; приведенный пусковой момент

М^пр_пyc = λ_пM^пр_нoм =2*152,78 = 305,56 Н. м; приведенный критический (максимальный) момент

M^пр_{д max} = λ_к M^пр_{д нoм} = 2,4*152,78 = 366,7 Н.м.

Среднее значение приведенного движущего момента

M^пр_{д ср} = А_сц /φ₁^ц (3.46)

сравнивают для проверки со значением M^пр_д, найденным в разд. 3.3.

Далее по рассчитанным выше значениям параметров ω_cин, ω_нoм, M^пр_{д нoм}, M^пр_пус и M^пр_мах строят приведенную механическую характеристику двигателя (рис. 3.12,б), находят среднюю угловую скорость

M^пр_{д нoм}/M^пр_{д cp}=(ω_cин-ω_нoм)/(ω_cин-ω_cp)

152,78/133,6=65,42-61,93 / 65,42 - ω_cp ,

ω_cp =62,37 рад/с

и частоту n₁ вращения кривошипа n₁ = ω_cp/2π.

Согласно формуле (3.47)

n₁= 62,37/(2π) = 9,93 с^-1 (в исходных данных было задано n₁ = 10,1 c^_I).

На графике ω_дв(M^пр_д) отмечают наибольшее изменение угловой скорости (Δω)_нб, которое определяют по формуле (∆ω)_нб=δω_cp; (∆ω)_нб = = 1/40*62,37 = 1,56 рад/с, и соответствующее наибольшее изменение приведенного движущего момента (ΔM^пр_д)_нб при работе машины с заданным коэффициентом неравномерности δ вращения кривошипа 1. При этом необходимо провести проверку условия

ω_1max < ω_син (3.48)

где ω_1max — максимальная угловая скорость кривошипа, определяемая из соотношения

ω_1max =ω_1cp(1 + δ/2).

Если условие (3.48) не выполняется, то следует либо уменьшить заданный коэффициент δ, либо выбрать электродвигатель с другой механической характеристикой (с большим скольжением).

Найденные по формуле (3.48) числовые значения ω_Imax можно использовать для уточненных расчетов движущего момента.

Используя ось ω₁ графика ω₁(φ₁**), повторяют построение приведенной механической характеристики двигателя (см. рис. 3.11, ж) ω₁(М^пр_д) в масштабах μ_ω и μ_м от ω_1cин до ω_нoм. При этом график ω₁(М^пр_д) располагают так относительно графика ω₁(φ₁**), чтобы оси ω₁ совпадали.

Ординату точки ω_1cин на оси ω₁ (см. рис. 3.11, ж) находят, пользуясь масштабом μ_ω, или рассчитывают длину отрезка оси от ω_1cp до ω_1cин:

μ_ω(ω_1cин-ω_1cp) = 37,82(65,42-62,37) =

= 115,35 мм.

Ординату μ_мМ^пр_дср графика М^пр_дср(φ₁), построенного на рис. 3.12, б штриховыми линиями, откладывают по горизонтали на уровне ω_1cp (см. рис. 3.11 ,ж) и таким образом получают точку М^пр_д(φ₁;ω₁), которую соединяют прямой линией с точкой ω_1cин. Фактически на рис. 3.11, ж построен линеаризованный участок приведенной рабочей характеристики двигателя.

Текущие значения приведенного движущего момента М^пр_д(φ₁;ω₁) определяют графически, используя построенный на рис. 3.11, ж график ω₁(М^пр_д)Для этого проводят горизонтальные прямые через точки графика ω₁(φ₁**) до пересечения с графиком механической характеристики и определяют отрезки μ_MМ^пр_д для каждой позиции механизма.

По этим отрезкам графически можно построить зависимость М^пр_д (φ₁), которая будет отличаться от значения М^пр_д =const, принятого ранее в динамических расчетах. Девиация значения движущего момента обычно невелика, и в ее интегрировании для получения «уточненного» закона движения нет необходимости.

В приложении П7 (листы Л5, Л6) приведены примеры проектирования станков в установившемся режиме движения с разными законами изменения сил производственного сопротивления.

4. СИЛОВОИ РАСЧЕТ МЕХАНИЗМА

При проектировании механизма необходимо знать внешние силы и моменты, действующие на его звенья, а также внутренние силовые факторы — реакции связей — в кинематических парах. Чтобы определить внешние и внутренние силы, проводят силовой расчет механизма, по результатам которого выполняют расчеты деталей и узлов машины на прочность, жесткость и износ, подшипников качения и скольжения и выбирают вид смазки и места ее подвода, а также выполняют другие проектные и проверочные расчеты.

В кинематических парах реакции связи вычисляют с помощью уравнений статики для механической системы, основываясь на принципе Д’Аламбера. При этом рассматривают только идеальные кинематические пары, т. е. считают, что трение в парах отсутствует. Методика проведения силового расчета в курсе теории машин и механизмов отличается от методики, принятой в курсе теоретической механики, главным образом, системой упрощений, связанных с учетом конкретных особенностей структурной схемы механизма.

4.1. Силы, действующие в кинематических парах плоского механизма

Вращательная кинематическая пара. Связь, наложенная на относительное движение звеньев i и j (рис. 4.1, а), допускает их вращение (ω_ij) относительно направляющей пары В и запрещают относительное поступательное движение звеньев. Рассматривая звено i в условиях равновесия (рис. 4.1,6), удаляют связь и заменяют ее реакцией Rу.

Рис. 4.1

При силовом расчете механизма с вращательной кинематической парой определяют модуль вектора реакции |Rij| и угол наклона вектора к оси абсцисс выбранной системы координат. Точка приложения силы известна — геометрический центр кинематической вращательной пары. При необходимости можно найти и проекции вектора реакции Rу на оси координат.

Число связей n_cв во вращательной кинематической паре и, следовательно, число неизвестных скалярных величин при ее силовом расчете равно двум,

n_CB= 2.

Поступательная кинематическая пара. Связи, наложенные на относительное движение звеньев i и j (рис. 4.2, а), допускают только их относительное поступательное движение (Vij) вдоль направляющей поступательной пары А и запрещают их относительное поступательное движение перпендикулярно оси направляющей пары и их относительное вращение. Рассматривая звено i в условиях равновесия (рис. 4.2, б), удаляют связь и заменяют ее реакцией Rij и реактивным моментом Мij.

При силовом расчете механизма с поступательной парой определяют модуль вектора реакции |Rij| и реактивный момент M_ij. Направление вектора реакции Rij известно — по нормали к контактирующим поверхностям звеньев, т. е. по нормали к на-

правляющей поступательной пары A. Иногда вместо реактивного момента используют смещение h_i точки приложения реакции, которое отсчитывают вдоль направляющей поступательной пары от точки A_n основания перпендикуляра, опущенного из центра вращательной пары В этого же звена i на направляющую поступательной пары А, или от точки пересечения направляющих двух поступательных пар. Иными словами, реакцию R_ij и реактивный момент M_ij можно заменить одной силой — реакцией R_ij^*, приложенном в точке А^* , которая смещена на расстояние h_i от точки A_n.

Число связей n_cв в поступательной кинематической паре и, следовательно, число неизвестных скалярных величин при ее силовом расчете равно двум, n_cв = 2.

Высшая кинематическая пара. Связи, наложенные на относительное движение звеньев i и j (рис. 4.3), запрещают движение звеньев в направлении нормали п к контактирующим поверхностям, допуская относительное движение звеньев (v_ij) вдоль касательной t и относительное вращение (ω_ij). Рассматривая звено i в условиях равновесия (рис. 4.3, б), удаляют связь и заменяют ее реакцией R_ij.

При силовом анализе механизмов с высшей кинематической парой определяют только модуль вектора реакции |R_ij|. Точка приложения силы известна — точка C_n контакта рабочих профилей кинематической пары С, кроме того, известно направление вектора силы — нормаль пп контакта к профилям.

Число связей n_cв в высшей кинематической паре и, следовательно, число неизвестных скалярных величин при ее силовом расчете равно единице, n_cв = 1 .

4.2. Виды и этапы силового расчета

Задачей силового расчета исследуемого механизма при известных внешних силах, моментах, кинематических характеристиках, а также известном законе движения является определение реакций в кинематических парах механизма и уравновешивающей силы или момента (управляющее силовое воздействие).

Виды силового расчета:

статический — для механизмов, находящихся в покое или движущихся с малыми скоростями, когда инерционные силы пренебрежимо малы, а также в случаях, когда массы и моменты инерции звеньев механизма не известны (что возможно на начальных этапах проектирования). Уравнения статического равновесия составляют для каждого звена:

∑ (F_i + R_i) = 0;

(4.D

∑ [М_i + М(R_i)] = 0,

где F_i — внешние силы, приложенные к звеньям механизма; М_i — внешние моменты сил, приложенные к звеньям; R, — реакции в кинематических парах звена; М(R_i) — момент реакции и связей в кинематических парах; п — число подвижных звеньев;

кинетостатический — для движущихся механизмов при известных массах и моментах инерции звеньев, когда пренебрежение инерционными силами приводит к существенным погрешностям. Уравнения кинетостатического равновесия:

∑(F_i+R_i+Ф_i)= 0;

(4-2)

∑[M_i + М(R_i)+М(Ф_i)+M_φi ] = 0,

где Ф_i — главный вектор сил инерции звеньев; М(Ф_i) — момент от главного вектора сил инерции; M_φi — главный момент сил инерции звена;

кинетостатический с учетом трения для механизмов, у которых определены параметры трения в парах и размеры элементов пар. При его выполнении кроме коэффициентов трения необходимо знать направления относительного движения в кинематических парах и фактические размеры вращательных пар (для нахождения кругов трения). В настоящем учебном пособии этот вид расчета не рассматривается.

Для определения числа неизвестных величин при силовом расчете плоских механизмов, и, следовательно, числа необходимых уравнений, предварительно проводят структурный анализ механизма, чтобы установить число и класс кинематических пар, число основных подвижностей механизма и число избыточных связей. Для проведения силового расчета с использованием только уравнений кинетостатики необходимо устранить избыточные связи. В противном случае, система будет иметь статическую неопределимость и для ее раскрытия придется использовать дополнительные условия, например, учитывать деформацию звеньев и т. п. Так как

каждая связь в кинематической паре механизма соответствует одной компоненте вектора реакции, то число неизвестных компонент реакций равно суммарному числу связей n_cв, накладываемых парами механизма. При числе степеней свободы механизма W = 1 (системы с несколькими степенями свободы в этом пособии не рассматриваются) к системе уравнений с неизвестными параметрами необходимо добавить уравновешивающую силу или уравновешивающий момент. Поэтому суммарное число неизвестных величин в силовом расчете определяется суммой связей в кинематических парах механизма и степенью его подвижности:

р

Nн.вел ^— Σn_cв + W ^— 2p_низш +p_высш + 1 (4.3)

j=1

где N_{н вeл} — число неизвестных величин при силовом расчете; n_cв — число связей в кинематических парах; p_низш и р_выcш — число низших и высших кинематических пар в механизме соответственно.

При силовом расчете механизма выделяют следующие этапы:

а) структурный анализ механизма — определение числа звеньев, вида и класса кинематических пар и числа связей в них, а также устранение избыточных связей;

б) определение всех внешних сил и моментов, включая силы тяжести, главные векторы и моменты сил инерции, действующие на звенья;

в) декомпозиция механизма на подсистемы — кинематические группы и начальные звенья;

г) составление уравнений кинетостатики для каждой выделенной подсистемы;

д) решение полученной системы уравнений и определение неизвестных реакций (напомним, что во вращательной кинематической паре — модуль вектора реакции и ее направление, в поступательной — модули векторов реакции и реактивного момента).

По окончании силового расчета определяют уравновешивающий момент на начальном звене или уравновешивающую силу.

4.3. Силовой рaсчет кинематических групп

4.3.1. Группы Ассура

Важно отметить, что в качестве подсистемы для силового расчета нельзя выбирать отдельное звено, которое в любом замкнутом механизме входит по крайней мере в две кинематические пары. Дело в том, что при рассмотрении звена в условиях равновесия необходимо определить четыре неизвестных величины — по две в каждой низшей кинематической паре, при этом для звена можно составить только три независимых уравнения равновесия. В связи с этим потребуется рассмотреть условия равновесия других звеньев и решить более сложную систему уравнений, однако тогда теряется смысл декомпозиции как элемента упрощения решения.

В качестве подсистем при силовом расчете удобно выбирать структурные кинематические группы Ассура, так как они являются статически определимыми механическими системами, т. е. число неизвестных величин при определении реакций в кинематических парах группы в точности совпадает с числом уравнений равновесия для элементов группы. Поэтому общая система уравнений силового расчета распадается на подсистемы меньшего порядка по числу групп Ассура. Так, например, в двухповодковой кинематической группе Ассура, имеющей три кинематические пары, будет шесть неизвестных величин. Для каждого из двух звеньев, входящих в группу, можно составить три уравнения статического равновесия. Отсюда и следует статическая определимость группы. В заданиях к курсовому проектированию представлены только простые рычажные механизмы, в большинстве случаев состоящие только из двухповодковых групп. Различают пять разновидностей двухповодковых групп. Рассмотрим алгоритм проведения силового расчета для каждого вида двухповодковой группы.

4.3.2. Группа первого вида

Группа первого вида (ВВВ) имеет три вращательные (В) пары (рис. 4.4). На рисунке показана система внешних сил, действующих на каждое звено группы: сумма всех внешних сил F_i и F_j (главный вектор), приложенных к звеньям i и j соответственно; сумма внешних моментов М_i и М_j (главный момент); главные вектора сил инерции Ф_i и Ф_j, приложенные в центрах масс Sl и Sl звеньев i и j; главные моменты сил инерции M_φi и M_φj. На рис. 4.4 отдельно выделены силы тяжести G_i и G_j звеньев i и j, приложенные в соответствующих центрах масс 5, и Sl. Естественно, что при анализе реальных механизмов некоторые силы могут отсутствовать или быть пренебрежимо малы и поэтому их не учитывают. Кроме того, показаны полные реакции во внешних кинематических парах группы В и D, возникающие после выделения группы (после отбрасывания звеньев k и t, связанных с ней): реакция R_ik, действующая на звено i со стороны отброшенного звена k, и реакция R_jm, действующая на звено j со

стороны отброшенного звена т. Ясно, что среди звеньев k и m может быть стойка.

Последовательность расчета реакций в кинематических парах группы первого вида определяется системой уравнений

(∑M_i)_C=0 =>R^τ_ik,

(∑M_j)_C=0 =>R^τ_jm,

(4.4)

∑F_i+j=0 => Rⁿ_jm, Rⁿ_ik

∑F_i =0 => R_ij

Здесь (∑M_i)_C и (∑M_j)_C — векторные суммы всех внешних моментов, действующих на звенья i или j соответственно, взятых относительно точки C; ∑F_i, ∑F_i+j — векторные суммы всех сил.

Нижние индексы «i», «j» показывают, к какому звену приложены силы; нижний индекс «i+j» означает, что при суммировании сил рассматривается совокупность обоих звеньев группы как единое твердое тело, т. е. с использованием принципа «отвердевания», принятого в теоретической механике. Верхние индексы «τ» и «n» обозначают проекции полного вектора реакции на соответствующие оси координат τ и n. Отсутствие верхнего индекса у реакции R_ij в последнем уравнении (4.4) показывает, что в этом случае непосредственно определяется полный вектор реакции, действующей на звено i со стороны звена j.

Из четырех уравнений системы (4.4) последние два — векторные, каждое из которых сводится к двум уравнениям в проекциях, т. е. общее число уравнений системы для расчетов равно шести. При последовательном решении уравнений системы (4.4) каждое из них определяет какую-либо компоненту вектора реакции, показанную в уравнениях после знака «=>». Иными словами, это не система в общепринятом смысле, а последовательность решения четырех независимых уравнений для определения реакций.

Следует сделать два важных замечания. Во-первых, проекции реакций R_jm и R_ik внешних пар В и D группы являются проекциями не в абсолютной системе координат (х, у), в которой определялись функции положения пар и звеньев механизма, а проекциями в локальной системе координат (я, т) специального вида — ось п направлена вдоль соответствующего звена, а ось х — перпендикулярно ему. При таком расположении осей локальных систем координат в каждом из первых двух уравнений системы (4.4) остается только по одной неизвестной величине — компоненте вектора реакции R^τ, поскольку компоненты Rⁿ не дают момента и в уравнениях не участвуют. Это и позволяет найти составляющие реакций R^τ из уравнений моментов. Составляющие реакций Rⁿ, направленные вдоль звена, находятся из третьего уравнения системы (4.4) — векторной суммы всех сил, действующих на группу. Реакция R_ij действующая между звеньями группы, в это векторное уравнение не входит. При векторном суммировании удобно располагать компоненты векторов R^τ и Rⁿ рядом, что позволяет избежать лишних дополнительных построений при определении полной реакции R.

Во-вторых, рациональная последовательность векторного суммирования в третьем уравнении системы (4.4) позволяет избежать дополнительного построения векторного многоугольника сил по четвертому уравнению системы (4.4). Рациональная последовательность заключается в том, что вначале векторно суммируют все силы, действующие на одно звено, и лишь затем суммируют силы, действующие на другое. Если в многоугольнике сил равновесия группы провести замыкающий вектор сил, действующих только на одно звено, то он и будет вектором реакции во внутренней кинематической паре. Рассматривая только группу векторов, относящихся к одному звену, по существу имитируют четвертое уравнение системы (4.4), но без фактического построения дополнительного векторного многоугольника. Еще раз подчеркнем, что дополнительное построение векторного многоугольника можно избежать только в случае рациональной последовательности суммирования векторов сил. Например, для группы на рис. 4.4 такая последовательность может иметь вид Rⁿ_ik+R^τ_ik+F_i + Ф_i+G_i + G_j+Ф_j + F_j+ R^τ_jm +Rⁿ_jm =0

4.3.3. Группа второго вида

Группа второго вида (ВВП) имеет одну внешнюю поступательную (П) пару и две вращательные (В) (рис. 4.5). Полная система внешних сил, действующих на звенья i и j группы второго вида,

аналогична системе сил для группы первого вида (см. рис. 4.4) и поэтому подробно не рассматривается.

Последовательность расчета реакций в кинематических парах группы второго вида определяется системой уравнений

(∑M_i)_C=0 =>R^τ_ik,

(∑M_j)_C=0 =>R^τ_jm,

(4.5)

∑F_i+j=0 => Rⁿ_jm, Rⁿ_ik

∑F_i =0 => R_ij

Как и в группе первого вида, для звена i вводят локальную систему координат (n, τ) (см. рис. 4.5). Реакция поступательной пары перпендикулярна направляющей внешней поступательной пары D. Рациональная последовательность суммирования векторов внешних сил позволяет избежать непосредственного применения последнего уравнения системы (4.5), при этом недостающую реакцию R_ij можно определить из векторного многоугольника суммы сил по второму уравнению системы (4.5).

Ранее, при рассмотрении реакций в поступательной паре (см. рис. 4.2.), указывалось, что реакцию R_jm и реактивный момент М_jm в поступательной паре D определяемый третьим уравнением системы (4.5), можно свести к одной реакции R^*_jm, смещенной на расстояние h_j относительно основания перпендикуляра D_n, опущенного из пары С на направляющую пары Д т. е. приложенной в точке D^*. Необходимое смещение можно найти из соотношения h_j = M_jm/|F_jm| или непосредственно из третьего уравнения системы, поделенного на модуль вектора реакции F_jm, т. е. без фактического вычисления реактивного момента М_jm. Такое задание реакции в виде одной силы равноценно вышеописанному заданию ее в виде силы и момента.

1. Группа третьего вида

Группа третьего вида (ВПВ) также имеет одну поступательную (П) пару (но внутреннюю) и две вращательные (В) пары (рис. 4.6, а). Полная система сил и моментов, действующая на звенья группы аналогично системе рассмотренных ранее групп первого и второго вида, какого-либо специального рассмотрения не требует.

Последовательность определения реакций и моментов в кинематических парах группы третьего вида определяется системой уравнений

(∑M_i+j)_D=0 =>R^τ_ik, ->(_|_BD) (4.6)

∑F_i =0 => R_ij,Rⁿ_ik

(∑M_i)_B=0 =>M_ij

∑F_i+j=0 => R_jm,

В группе третьего вида для определения реакции во внешней вращательной паре В звена i вводят локальную систему координат (n, τ), связанную не со звеньями, как в группах первых двух видов, а с внешними кинематическими парами всей группы, т. е. ось п проходит через пары В и D, а ось т - перпендикулярно линии BD. Из первого уравнения системы (4.6), в котором сумма моментов всех сил действует на совокупность обоих звеньев i и j, рассматриваемых как единое твердое тело относитель

но внешней вращательной пары D, определяют компоненту вектора реакции R^τ_ik направленную перпендикулярно линии ВD.

Второе и третье уравнения системы (4.6) связаны с анализом звена i в условиях равновесия (см. рис. 4.6, б). Здесь, как и ранее, силу реакции R_ij и реактивный момент M_ij можно свести к одной силе R_ij^*, приложенной в точке С^*. Смещение h_i найдем по соотношению h_i = M_ij/|F_ij|.

4.3.5. Группа четвертого вида

Группа четвертоrо вида (ПВП) имеет две поступательные (П) пары (внешние) и одну вращательную (В) (внутреннюю) (рис. 4.7). Полная система сил полностью идентична ранее рассмотренным системам сил и не требует дополнительных пояснений.

Последовательность определения реакций и моментов в кинематических парах группы четвертого вида определяется системой уравнений

∑F_i+j=0 => R_jm, R_ik

(∑M_i)_C=0 =>M_ik,

(∑M_j)_C=0 =>M_jm,

∑F_i =0 => R_ij

(4.7)

В группе этого вида нет необходимости вводить специальные локальные координаты, поскольку направления реакций R_ik и R_jm известны — перпендикулярно направляющим соответствующих пар В и D. Как и ранее, рациональная последовательность суммирования сил в первом уравнении системы (4.7), позволяет отказаться от непосредственного применения четвертого уравнения и недостающую реакцию R_ij во внутренней паре С группы найти непосредственно из первого уравнения.

4.3.6. Группа пятого вида

Группа пятого вида (ВПП) имеет одну вращательную (В) пару (внешнюю) и две поступательные (П) пары (рис. 4.8, а).

Последовательность расчета реакций и моментов в кинематических парах группы пятого вида определяется системой уравнений

∑F_j =0 => R_jm,R_ji

∑F_i+j=0 =>R_ik, (4.8)

(∑M_i+j)_B=0 =>M_jm

∑M_i)_B=0 =>M_ij

В группе этого вида вводить специальные системы координат также нет необходимости. Реакции, действующие на звено j, и определяемые первым уравнением системы (4.8), показаны на рис. 4.8, б. Реакции R_ik во вращательной паре В группы (второе уравнение системы (4.8)) и реактивный момент М_jm в паре D звена j (третье уравнение системы

(4.9)

(4.8)) находят по рис. 4.8, а. Его также удобно использовать для вычисления внутреннего реактивного момента M_ij пары С по четвертому уравнению системы (4.8). Следует обратить внимание, что в этом уравнении, а значит, и на рис. 4.8, в, рассматривается реакция R_ij и соответствующий момент М_ij, а не реакция R_ij, найденная ранее и показанная на рис. 4.8, б. Реакция R_ij определяется элементарным соотношением R_ij = -R_ji. Вопросы замены силы реакции и реактивного момента одной силой ясны из построений на рис. 4.8, а и в, а соответствующие смещения h_j находят после деления реактивного момента на модуль силы реакции в паре, т. е. h_j = M_ij/|F_ij| для кинематической пары С и h_j= M_jm/|F_jm | для пары D.

4.3.7. Начальное звено

На заключительном этапе силового расчета после определения реакций во всех кинематических группах рассматривают равновесие начального звена. Возможны четыре варианта расчетных структурных схем начального звена.

1. Начальное звено АВ (рис. 4.9) образует со стойкой 0 вращательную кинематическую пару А. Вращательная пара В связывает начальное звено со звеном i присоединенной к нему группы. Иными словами, начальное звено вида ВВ содержит две вращательные пары.

Рис. 4.9

В системе сил, действующей на начальное звено, учитывают, что в большинстве случаев центр масс S_н начального звена совпадает с центром неподвижной вращательной пары А. Кроме того, на начальное звено в шарнире В со стороны отброшенного звена i действует реакция R_нi. Эта реакция известна, поскольку получена в ходе предварительного анализа группы, связанной с начальным звеном. В паре А действует реакция R_н0 со стороны отброшенной стойки. Никаких других внешних сил на начальное звено, как правило, больше не действует. Следовательно, кроме этой реакции из внешних воздействий остаются только сила тяжести G_н и момент сил инерции M_φн. Кроме них для обеспечения равновесия начального звена необходимо приложить неизвестный заранее внешний уравновешивающий момент M_yp.

Последовательность расчета реакций и моментов, действующих на начальное звено вида (ВВ), определяется системой уравнений

Σ F_н = 0 => R_н0.

(∑M_н)_А=0 =>Myp.

Необходимо подчеркнуть, что во втором уравнении системы (4.9) кроме момента реакции R_нi учитывается и инерционный момент M_φн, который, как правило, имеет достаточно большое значение, поскольку при его расчете используется момент инерции J_I первой группы звеньев.

2. Начальное звено АВ (рис. 4.10) образует со стойкой 0 вращательную кинематическую пару А, а со звеном i присоединенной к начальному звену группы — поступательную пару В.

Рис. 4.10

Таким образом, звено вида ВП имеет одну вращательную и одну поступательную пары. Система внешних сил для начального звена вида ВП аналогична ранее описанной системе для звена вида ВВ, с той лишь разницей, что реакция на начальное звено со стороны отброшенной группы, кинематически связанной с ним, кроме силы реакции R_нi может содержать и момент сил реакции M_нi.

Последовательность расчета реакций и моментов, действующих на начальное звено вида (ВП), не отличается от предыдущего случая:

∑F_H =0 =>R_н0,

(4.10)

(∑M_н)_А=0 =>Мур.

Отметим, что решение второго уравнения системы (4.10) зависит от формы, в которой выражена реакция поступательной пары В, полученная при предварительном анализе группы, присоединенной к начальному звену. Так, если реакция выражена в форме сила + момент, т. е. определялись и сила реакции R_нi, и момент реакции M_нi, то во втором уравнении системы (4.10) при определении M_yp следует учитывать только момент M_нi. Если же реакция выражена в форме реакции R_нi приложенной

(4.11)

(4.12)

в заданной точке B* звена i на направляющей поступательной пары В, то при определении M_yp учитывается только момент этой силы. Точку В* звена i в этом случае для определения плеча силы при вычислении момента необходимо перенести на направляющую пары В начального звена. Однако дополнительные построения, связанные с переносом точки, в этом случае делать не обязательно, поскольку на изображенной на листе полной схеме механизма положение точки В* уже известно, и поэтому достаточно измерить расстояние от неподвижной пары А начального звена до перпендикуляра к направляющей поступательной пары В, проведенного через точку В* звена i, и тем самым найти необходимое плечо силы.

3. Начальное звено АВ (рис. 4.11) образует со стойкой 0 поступательную кинематическую пару А, а со звеном i присоединенной к начальному звену группы — вращательную пару В. Звено этого вида (ПВ) также содержит одну вращательную и одну поступательную пару, однако в отличие от только что рассмотренного звена вида ВП поступательная пара связывает начальное звено со стойкой. В этом случае для обеспечения равновесия звена вместо уравновешивающего момента M_yp к звену необходимо приложить уравновешивающую сила R_yp. Система внешних сил начального звена вида ПВ полностью аналогична системе звена вида ВВ.

Рис. 4.11

Последовательность расчета реакций и моментов, действующих на начальное звено вида ВВ, определяется системой уравнений

∑F_H = 0 => R_н0, R_ур,

(∑M_н)_B =0 =>M_н0

Как видно из второго уравнения, момент всех сил, действующих на звено, берется относительно вращательной пары В начального звена. Как обычно, для поступательной пары А вычисленные реакции и моменты начального звена со стойкой можно заменить одной силой (R*_н0), приложенной в точке А*.

4. Начальное звено (рис. 4.12) образует и со стойкой 0 и с подвижным звеном i присоединенной к нему группы поступательные кинематические пары, т. е. начальное звено вида ПП содержит две поступательные пары. В этом случае, как и для звена вида ПВ, неизвестным силовым фактором для обеспечения равновесия начального звена также будет уравновешивающая сила (R_yp).

Рис. 4.12

Последовательность расчета реакций и моментов аналогична приведенной в системе (4.11), с той лишь разницей, что сумма моментов во втором уравнении берется относительно точки A_n — точки пересечения направляющих поступательных пар А и В начального звена:

∑F_н =0 =>R_н0,R_yp,

(∑М_н)_Аn=0 => M_н0.

Как и ранее, момент и реакция начального звена со стойкой могут быть заменены одной силой (R^*_н0), приложенной в точке А .

Итогом силового расчета начального звена и по существу всего механизма является определение уравновешивающего момента M_yp (или уравновешивающей силы R_yp для начального звена с поступательной парой со стойкой). Найденное значение M_yp сравнивают со значением M_д из первого листа проекта, что является элементом проверки правильности выполнения расчетов обоих листов проекта. Расхождение в значениях M_д и M_yp не должно превышать 10... 15 %.