1. Уравнения движения и динамическая модель

   1. Общие уравнения движения машины

Уравнение движения механической системы можно записать в форме уравнения Лагранжа второго рода: где J₁ — момент инерции первой группы звеньев относительно оси главного вала машины, учитывающий инертность кривошипа, ротора двигателя и звеньев редуктора; m_j, J_Sj- — масса и момент инерции относительно центра масс j-го эвена; v_Sj, ω_j — скорость центра масс и угловая скорость j-го звена.

d δT/dt δq-δT/δq = Q

(3.1)

где Т — кинетическая энергия всей системы, т. е. суммарная кинетическая энергия всех звеньев; Q — обобщенная сила; q — обобщенная скорость; q — обобщенная координата.

Здесь отношения скоростей — передаточные функции или аналоги соответствующих скоростей, которые зависят лишь от обобщенной координа-

Выделим в уравнении (3.3) член, не зависящий от угловой скорости главного вала:

(3.5)

ты φ_Η. Поэтому выражение (3.4) можно переписать в виде Т = J^пр_Σ(φ_Η)ω²_н/2

где J^пр_Σ(φ_Η) — суммарный приведенный момент инерции всех звеньев механизма:

J^пр_Σ(φ_Η) = J^пр₁+ J^пр₁₁(φ_Η)

J^пр₁ = const — приведенный момент инерции первой группы звеньев; J^пр₁₁(φ_Η) = var — приведенный момент инерции второй группы звеньев:

J^пр₁₁(φ_Η)=Σ(m_jV²_qSj+JSjω_aj²) (3.7)

Здесь V_qSj иω_aj — передаточные функции (аналоги скоростей). Иногда аналог угловой скорости звена j обозначают как передаточное отношение и_ji где i — номер звена, с которым связана обобщенная координата.

Инерционную характеристику машины J^пр_Σ(φ_Η), определяемую соотношениями (3.6) и (3.7), называют приведенным к главному валу моментом инерции машины, или приведенным моментом инерции. Главный вал, условно снабженный таким моментом инерции, будет иметь приведенную кинетическую энергию T^пр, равную кинетической энергии всей машины:

Т^пр=Т. (3.8)

При этом главный вал называют звеном приведения., а равенство (3.8) кинетических энергий — условием приведения масс и моментов инерции.

Составляющая J^пр₁ суммарного приведенного момента инерции определяет инерционно-массовые характеристики тех вращающихся звеньев, которые по отношению к главному валу имеют постоянные передаточные отношения, например ротор двигателя, либо образуют с ним единое целое, например кривошип. Другие звенья рычажного механизма характеризует составляющая J^пр₁₁, изменение которой связано с расположением звеньев в процессе движения, что учитывается входящими в соотношение (3.7) передаточными функциями (аналогами) скоростей. В связи с этим для машин циклового действия приведенные моменты инерции J^пр₁₁ и J^пр_Σ являются периодическими функциями угла φ_Η с тем же периодом, что и у аналогов скоростей.

Аналогично приведенному моменту инерции обобщенный силовой параметр М в уравнении (3.2) называют приведенным к главному валу моментом сил, или приведенным моментом, обозначаемым далее M^пр_Σ. Расчет приведенного момента можно проводить исходя из сравнения элементарных работ на возможных перемещениях, однако более удобно сравнивать соответствующие им мощности. Мощность приведенного момента на звене приведения

P^пр=M^пр_Σω_н (3.9)

должна быть равна суммарной мощности всех сил, действующих на звенья механизма:

Ρ=ΣΜ_jω_j+ΣF_kv_k (3.10)

гдеΜ_jω_j- — момент, приложенный к звену j, и его угловая скорость; F_kv_k — векторы силы, приложенной в точке с индексом к, и скорости этой точки (мощность Μ_jω_j считают положительной, если направления величин Μ_j и ω_j совпадают). Согласно условию приведения, т. е. условию равенства мощностей:

Р^пр = Р (3.11)

и после подстановки выражений (3.9) и (3.10) в

11. получают

М^пр_Σ=ΣΜ_jω_j/ω_н+ΣF_kv_k/ω_н

или

М^пр_Σ=ΣΜ_jω_qj+ΣF_kv_qk (3.12)

Из активных сил в уравнении (3.12) учитывают движущие силы, силы полезного сопротивления и силы тяжести подвижных звеньев. Работа сил сопротивления всегда отрицательна, поскольку эти силы направлены противоположно движению. Работа сил тяжести в процессе движения может быть как положительной, так и отрицательной, но при этом суммарная работа их за цикл равна нулю. Так как силами трения пренебрегают, то реакции в кинематических парах не совершают работу и, следовательно, не учитываются в расчетах (см. (3.10) и

11. ). Для цикловых машин приведенный момент сил М^пр_Σ есть периодическая функция обобщенной координаты φ_Η, период которой определяется периодом входящих в уравнение (3.12) функций.

Анализ формул (3.10) и (3.12) показывает, что выражение для приведенного момента можно получить из выражения для мощности всех действующих сил, если в нем скорости всех звеньев заменить передаточными функциями скоростей. Аналогично, на основании формул (3.3), (3.6) и (3.7), заключаем, что выражение для приведенного момента инерции можно получить из выражения удвоенной кинетической энергии машины, если за-

(3.13)

менять скорости звеньев их передаточными функциями.

Чтобы представить уравнение движения (3.2) в виде, обычно используемом в динамике машин, вычисляют необходимые производные кинетической энергии, записанной в форме (3.5):

ϐT/ϐω_н=J^пр_Σ(φ_н)ω_н;

(d/dt)ϐT/ϐω_н=d/dt[J^пр_Σ(φ_н)*ω_н]=(dJ^пр_Σ/dφ)*(dφ_н/dt)*ω_н+J^пр_Σ(dω_н/dt)=(dJ^пр_Σ/dφ_н)*ω_н²+J^пр_Σ*ε_н

ϐT/ϐφ=(dJ^пр_Σ/dφ_н)*(ω_н²/2)

Подставив эти выражения в уравнение (3.2), можно получить

J^пр_Σ*ε_н +(ω²_н/2)(dJ^пр_Σ/dφ_н)=M^пр_Σ

По форме уравнение (3.13) представляет собой уравнение динамики вращающегося тела с переменным моментом инерции. В него входят только параметры движения главного вала — φ_н, ω_н, ε_н. Основываясь на уравнении (3.13), можно сформулировать понятие динамической модели машины.

Динамической моделью машины называют простейший механизм, состоящий из одного звена, образующего вращательную пару со стойкой, движение которого тождественно движению главного вала (рис. 3.1). Динамическая модель имеет переменный момент инерции J^пр_Σ и вращается под действием момента M^пр_Σ (см. рис. З.1, а). Параметры динамической модели — приведенные момент инерции J^пр_Σ и момент M^пр_Σ — определяются условиями приведения (3.11), (3.13). Иногда динамическую модель строят не в виде вращающегося звена с переменным моментом инерции, а в виде материальной точки переменной массы, зафиксированной на невесомом вращающемся звене на плече l (см. рис. З.1, б). В этом случае параметрами модели являются при

Рис. 3.1

веденная масса m^пр и приведенная сила F^пр, которые также определяются условиями приведения (3.8), (3.11). В уравнение (3.13) подставляют величины J^прΣ и M^пр_Σ, J^пр_Σ = m^пр*l² и M^пр_Σ = F^πp*l.

Таким образом, задачу о движении многозвенного механизма машины можно свести к рассмотрению движения условного звена — динамической модели машины. Определив по уравнению (3.13) закон движения динамической модели, а значит, и входного звена рычажного механизма, можно найти законы движения остальных звеньев с помощью функций положения, аналогов скоростей и ускорений, полученных при предварительном кинематическом анализе механизма.

Уравнение (3.13) — нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно переменной φ_м, так как ω_м = φ_м, ε_м =φ_м. Чтобы упростить расчеты, полагают, что звено приведения совпадает с начальным звеном. Поскольку далее кинематический анализ проводят только для динамической модели, индекс «м» опускают либо заменяют номером звена приведения. Левую часть (3.13) можно представить в виде полной производной кинетической энергии по обобщенной координате φ, для чего в уравнение следует подставить угловое ускорение

Теория механизмов и машин 1

Курсовое 1

проектирование 1

Теория механизмов и машин 2

Курсовое 2

проектирование 2

Nн.вел ^— Σn_cв + W ^— 2p_низш +p_высш + 1 (4.3) 60

(l2 " 'l) ^C0S(ФlH + θ) ^{= +} Fci'^cos(y2) 127

(l₂ " ¹1).^Sln (φ1 н ^{+ θ}) ⁼ 'з ^SIП (^2) 127

l₁ соs (φ₁₊φ₁₂)+ l₂ cos(β₂) = l₄ + l₃соs(γ₂) 129

l₁ соs (φ₁₊φ₁₃)+ l₂ cos(β₃) = l₄ + l₃соs(γ₃) 129

.2 145

,,, ^MPR∑(Ф) ω(φГ _м, 152

УL := Ук - ^a Уl = -°-⁶ 158

-Фзmax Фз(^f) 158

'Aв(^f) 159

Ф₅(^f) 159

Ф₄(f) 159

УK⁺ 'КN ^sin(Ф¹б) ⁺ 'МN ^siπ(Ф¹7) ⁼ Ум(^f) 160

Теория 203

механизмов и машин 203

d(J^пр_Σ*(ω²/2))²=M^пр_Σdφ

Интегрируя выражение (3.15) в интервале значений угла поворота главного вала от начального положения φ_нaч до текущего φ и обозначая суммарную работу

A_Σ =∫M^пр_Σdφ,

получают уравнение, определяющее зависимость угловой скорости со главного вала от угла поворота φ:

J^пр_Σ(φ)*(ω²/2) -J^пр_Σ(φ_нач)(ω²_нач/2)=A_Σ(φ)

(3.19)

(3.20)

(3.21)

где J^пр_Σ(φ_нач ) и φ_нач — приведенный момент инерции и угловая скорость главного вала в начальном положении; Α_Σ — суммарная работа всех действующих в машине внешних сил в интервале значений от φ_нач до φ.

Обозначив кинетическую энергию через Т, Т_нач соответственно в текущем и начальном положениях и ее приращение ΔТ в интервале значений от φ_нач до φ записывают выражение (3.17) в виде

Т -Т_нач = ΔТ = Α_Σ. (3.18)

Уравнение движения машины в виде (3.17) или (3.18), называемое уравнением движения машины в форме энергий, описывает известную теорему механики об изменении кинетической энергии механической системы.

Из уравнения (3.17) функцию ω=ω(φ) выражают в явном виде:

ω(φ) = корень (2[Α_Σ(φ)+Т_нач(φ_нач)] / J^пр_Σ(φ_нач ))=

корень(2[Α_Σ(φ)+J_нач(φ_нач)ω²_нач] / J^пр_Σ(φ ))

Подставляя в выражение (3.19) угловую скорость ω=dφ/dt, получают

dt = dφ/ω = корень(2[Α_Σ(φ)+J_нач(φ_нач)ω²] / J^пр_Σ(φ ))

Интегрируя (3.20), находят зависимость между параметрами t и φ и, следовательно, вычисляют время движения машины в интервале значений от φ_нач до φ. После определения угловой скорости по формуле (3.19) угловое ускорение главного вала в том же положении машины можно найти из уравнения (3.13):

ε=(М^пр_Σ-dJ^пр_Σω²/dφ2)/J^пр_Σ

Далее расчитывают производную приведенного момента инерции dJ^пр_Σ/dφ, дифференцируя по параметру φ момент инерции второй группы звеньев (3.7):

dJ^пр_Σ/dφ=dJ^пр₁₁/dφ=2Σ[m_jv_qSja_qSj+J_Sjω_qjε_qj]

(3.22)

где v_qSj ,ω_qj — аналоги линейной и угловой скорости; a_qSj ,ε_qj — аналоги линейного и углового ускорения.

Уравнения движения динамической модели (3.13) и (3.17) при принятых допущениях справедливы для любого режима движения машины. Однако допущение о зависимости внешних сил только от положения механизма, позволяющее вычислить работу Αχ по формуле (3.16) и угловую скорость ω по формуле (3.19), для случая, когда силы зависят от угловой скорости (например, в электрическом двигателе), справедливо лишь при сравнительно небольшом ее изменении.